Examkin

Soru

Zorluk: KolaySinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde m(BAC^)=120∘m(\widehat{BAC}) = 120^\circ, m(ABC^)=45∘m(\widehat{ABC}) = 45^\circ ve ∣AC∣=42|AC| = 4\sqrt{2} birimdir. Buna göre, ∣BC∣|BC| uzunluğu kaç birimdir?

  1. 434\sqrt{3}Cevap
  2. B
    44
  3. C
    262\sqrt{6}
  4. D
    424\sqrt{2}
  5. E
    232\sqrt{3}

Cevap

İstenen uzunluk 434\sqrt{3} birimdir.
Sinüs Teoremi'ne göre kurulan ∣BC∣sin⁡(120∘)=42sin⁡(45∘)\frac{|BC|}{\sin(120^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} denkleminde bilinen değerler yerine yazılıp sadeleştirme yapıldığında doğru uzunluk 434\sqrt{3} birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs Teoremi bağıntısını yazalım.
∣BC∣sin⁡(A^)=∣AC∣sin⁡(B^)\frac{|BC|}{\sin(\widehat{A})} = \frac{|AC|}{\sin(\widehat{B})}
Bir üçgende kenar uzunlukları karşılarındaki açıların sinüs değerleriyle orantılıdır.
2
Verilen değerleri bağıntıda yerlerine yerleştirelim.
∣BC∣sin⁡(120∘)=42sin⁡(45∘)\frac{|BC|}{\sin(120^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)}
Soruda verilen m(A^)=120∘m(\widehat{A}) = 120^\circ, m(B^)=45∘m(\widehat{B}) = 45^\circ ve ∣AC∣=42|AC| = 4\sqrt{2} değerlerini kullanmak için.
3
Trigonometrik değerleri hesaplayarak denklemi çözelim.
sin⁡(120∘)=sin⁡(180∘−60∘)=sin⁡(60∘)=32\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(45∘)=22\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}

∣BC∣32=4222⇒2∣BC∣3=8⇒∣BC∣=43\frac{|BC|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow \frac{2|BC|}{\sqrt{3}} = 8 \Rightarrow |BC| = 4\sqrt{3}
İçler dışlar çarpımı yaparak ∣BC∣|BC| uzunluğunu yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi ve Geniş Açıların Sinüs Değerleri
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru