Bir ABC üçgeninde, A köşesinden [BC] kenarına çizilen [AD] doğru parçası [BC] kenarını D n… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $ABC$ üçgeninde, $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına çizilen $[AD]$ doğru parçası $[BC]$ kenarını $D$ noktasında kesmektedir.

m(\widehat{BAD}) = 30^\circ

m(\widehat{DAC}) = 60^\circ

$ABD$ ve $ADC$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin yarıçapları sırasıyla $R_1$ ve $R_2$ birimdir.

\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3}

olduğuna göre, $\frac{|BD|}{|CD|}$ oranı kaçtır?

Cevap: 2

İstenen oran 2'dir.

Sinüs Teoremi gereği, her iki üçgende de taban uzunlukları karşısındaki açıların sinüsleri ve çevrel çember yarıçapları ile ifade edilir:

|BD| = 2R_1 \sin 30^\circ

|CD| = 2R_2 \sin 60^\circ

. Bu ifadeler oranlandığında

\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ}

elde edilir. Verilen

\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3}

oranı ile

\sin 30^\circ = \frac{1}{2}

\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

değerleri yerine yazıldığında aranan oran 2 olarak hesaplanır.

ABD üçgeninde Sinüs Teoremi'ni çevrel çember yarıçapı cinsinden yazma

|BD| = 2R_1 \sin 30^\circ

Bir üçgende bir kenar uzunluğunun, o kenarın karşısındaki açının sinüs değerine oranı, o üçgenin çevrel çemberinin çapına eşittir.

ADC üçgeninde Sinüs Teoremi'ni çevrel çember yarıçapı cinsinden yazma

|CD| = 2R_2 \sin 60^\circ

Aynı Sinüs Teoremi bağıntısını ADC üçgeni için de kurarak

[CD]

kenarı ile karşısındaki açıyı ilişkilendirmek.

Elde edilen denklemleri oranlayarak

|BD|/|CD|

oranını oluşturma

\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{R_1}{R_2} \cdot \frac{\sin 30^\circ}{\sin 60^\circ}

Ortak terimleri sadeleştirmek ve verilen

R_1/R_2

yarıçap oranını kullanabilmek amacıyla denklemleri birbirine oranlamak.

Değerleri yerine yerleştirip sonucu hesaplama

\frac{|BD|}{|CD|} = 2

\sin 30^\circ = 1/2

\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2

\frac{R_1}{R_2} = 2\sqrt{3}

değerlerini yerleştirerek cebirsel sadeleştirme yapmak.

Sinüs Teoremi ve çevrel çember yarıçapı (

R

) ilişkisi:

\frac{a}{\sin A} = 2R

Soru