Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBasit Olayların Olasılığı

Bir madeni para ardı ardına havaya atılmaktadır. Bu atış işlemi, üst üste iki kez aynı sonuç (yazı-yazı veya tura-tura) elde edildiğinde sonlandırılmaktadır.

Buna göre, bu işlemin en fazla 5 atış sonunda sonlanmış olma olasılığı en sade biçimde ab\frac{a}{b} rasyonel sayısı olarak yazıldığında a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevap: 31

Cevap

İşlemin en fazla 5 atış sonunda sonlanmış olma olasılığı 15/16 olduğundan, pay ve paydanın toplamı 31'dir.
Tüm olası 5'li atış serilerinden (32 adet), oyunun 5. atışta henüz sonlanmadığı ardışık alternasyon durumları olan Y-T-Y-T-Y ve T-Y-T-Y-T (2 adet) çıkarıldığında, geriye kalan 30 durumda oyun en geç 5. atışta veya daha öncesinde sonlanmış olur. Bu olasılık 30/32 = 15/16'dır. En sade haliyle pay ve payda toplamı 15 + 16 = 31 olur.

Adım Adım Çözüm

1
5 madeni para atışında oluşabilecek tüm olası durumların sayısını hesaplamak
25=322^5 = 32 farklı durum
Her bir atış için 2 olası sonuç (Yazı veya Tura) bulunduğundan, 5 bağımsız atışın toplam durum sayısı çarpım kuralı ile bulunur.
2
İşlemin 5 atı�� sonunda sonlanmadığı (yani oyunun devam ettiği) durumları belirlemek
{Y-T-Y-T-Y, T-Y-T-Y-T} olmak üzere 2 durum
Oyunun 5 atış sonunda sonlanmaması için hiçbir ardışık iki atışın aynı sonucu vermemesi, yani sonuçların sürekli dalgalanması gerekir.
3
İşlemin en fazla 5 atışta sonlanma olasılığını tüm durumlardan sonlanmama durumunu çıkararak hesaplamak
1−232=1−116=15161 - \frac{2}{32} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
İstenen olayın olasılığı, tüm durumların olasılığından (1) istenmeyen olayın (sonlanmama) olasılığının çıkarılmasıyla pratik bir şekilde bulunur.
4
En sade kesir biçimindeki aa ve bb değerlerini bulup toplamak
a=15a = 15, b=16b = 16 ve a+b=31a + b = 31
1516\frac{15}{16} kesri sadeleştirilemediğinden a=15a=15 ve b=16b=16 alınır.

Anahtar Kavram

Bir olayın tümleyeninin olasılığını kullanarak basit olayların olasılığını hesaplama.
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Olayların Olasılığı

Bu konudan daha fazla soru