A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinden rastgele seçilen birbirinden farklı üç sayı küçükten b… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ kümesinden rastgele seçilen birbirinden farklı üç sayı küçükten büyüğe doğru sıralanarak sırasıyla $a$ , $b$ ve $c$ olarak belirleniyor. Buna göre; $a$ , $b$ ve $c$ uzunluklarına sahip üç doğrunun uç uca eklenmesiyle bir üçgen oluşturulabilme olasılığı kaçtır?

A
$\frac{13}{20}$
$\frac{7}{20}$ Cevap
C
$\frac{7}{120}$
D
$\frac{3}{10}$
E
$\frac{3}{20}$

Cevap

Seçilen sayıların bir üçgen oluşturma olasılığı 7/20'dir.

Seçilen üç farklı sayı için

a < b < c

sıralaması yapıldığında, bu sayıların bir üçgen oluşturması için

a + b > c

eşitsizliğinin sağlanması gerekir.

\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

kümesinden seçilebilecek 20 farklı üçlüden sadece 7 tanesi bu şartı sağlar. Olasılık bu nedenle 7/20'dir.

Adım Adım Çözüm

Tüm olası durumların sayısını belirlemek için kümenin 6 elemanından rastgele 3 eleman seçilir.

Örnek uzayın eleman sayısı

\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20

olur.

Seçilen elemanların kendi arasındaki sırası önemli olmadığından kombinasyon hesabı kullanılır.

Seçilen

a < b < c

sayıları için üçgen oluşturma şartı olan

a + b > c

eşitsizliğini sağlayan üçlüleri belirlemek.

Bu şartı sağlayan

(a, b, c)

ü��lüleri:
-

c = 6

için:

(2, 5, 6)

(3, 4, 6)

(3, 5, 6)

(4, 5, 6)

(4 durum)
-

c = 5

için:

(2, 4, 5)

(3, 4, 5)

(2 durum)
-

c = 4

için:

(2, 3, 4)

(1 durum)
olmak üzere toplam 7 tanedir.

a < b < c

sıralaması verildiğinden diğer üçgen eşitsizlikleri olan

a + c > b

b + c > a

her zaman doğrudur. Sadece en büyük kenara göre eşitsizlik kontrol edilmelidir.

İstenen olasılık değerini hesaplamak.

Olasılık =

\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} = \frac{7}{20}

bulunur.

Basit olayların olasılığı, istenen durum sayısının tüm durumların sayısına bölünmesiyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla örnek uzay ve istenen olay durumlarının hesaplanarak basit olayların olasılığının bulunması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru