Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKosinüs Teoremi

Bir kenar uzunluğu 4 birim4\text{ birim} olan düzgün ABCDEFABCDEF altıgeninde; KK noktası [AB][AB] kenarı üzerinde ∣AK∣=1 birim|AK| = 1\text{ birim} olacak şekilde, LL noktası ise [CD][CD] kenarı üzerinde ∣CL∣=3 birim|CL| = 3\text{ birim} olacak şekilde belirleniyor.

Buna göre, KK ve LL noktaları arasındaki uzaklık (∣KL∣|KL|) kaç birimdir?

Cevap: 7 birim

Cevap

K ve L noktaları arasındaki uzaklık 7 birimdir.
Kosinüs Teoremi önce KBCKBC üçgeninde, ardından açılar arasındaki ilişki fark formülüyle düzenlenerek KCLKCL üçgeninde uygulandığında ∣KL∣2=49|KL|^2 = 49 elde edilir. Buradan uzaklık 7 birim olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
K noktasının B köşesine olan uzaklığını bulma.
∣KB∣=3 birim|KB| = 3\text{ birim}
Düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu 4 birim4\text{ birim} olduğundan, ∣KB∣=∣AB∣−∣AK∣=4−1=3 birim|KB| = |AB| - |AK| = 4 - 1 = 3\text{ birim} elde edilir.
2
KBCKBC üçgeninde Kosinüs Teoremi uygulayarak ∣KC∣2|KC|^2 değerini hesaplama.
∣KC∣2=37 birim2|KC|^2 = 37\text{ birim}^2
m(B^)=120∘m(\widehat{B}) = 120^\circ, ∣KB∣=3 birim|KB| = 3\text{ birim} ve ∣BC∣=4 birim|BC| = 4\text{ birim} değerleri için Kosinüs Teoremi uygulandığında cos⁡(120∘)=−1/2\cos(120^\circ) = -1/2 yazılır ve ∣KC∣2=37|KC|^2 = 37 bulunur.
3
KBCKBC üçgeninden cos⁡(KCB^)\cos(\widehat{KCB}) ve sin⁡(KCB^)\sin(\widehat{KCB}) değerlerini elde etme.
cos⁡(KCB^)=11237\cos(\widehat{KCB}) = \frac{11}{2\sqrt{37}} ve sin⁡(KCB^)=33237\sin(\widehat{KCB}) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}
KBCKBC üçgeninde [BC][BC] kenarına göre Kosinüs Teoremi kullanılarak açının kosinüsü çekilir, ardından sinüsü bulunur.
4
cos⁡(KCD^)\cos(\widehat{KCD}) değerini toplam-fark formülü kullanarak hesaplama.
cos⁡(KCD^)=−1237\cos(\widehat{KCD}) = -\frac{1}{2\sqrt{37}}
Altıgenin iç açısı 120∘120^\circ olduğundan KCD^=120∘−KCB^\widehat{KCD} = 120^\circ - \widehat{KCB} bağıntısı kullanılır.
5
KCLKCL üçgeninde Kosinüs Teoremi ile ∣KL∣|KL| uzunluğunu hesaplama.
∣KL∣=7 birim|KL| = 7\text{ birim}
∣KL∣2=∣KC∣2+∣CL∣2−2∣KC∣∣CL∣cos⁡(KCD^)|KL|^2 = |KC|^2 + |CL|^2 - 2|KC||CL|\cos(\widehat{KCD}) formülünde değerler yerine yazılıp karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Düzgün altıgenin açı ve kenar özellikleri ile Kosinüs Teoreminin üçgenlerde ardışık uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru