Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x
b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x
c=cos⁡x−sin⁡xc = \cos x - \sin x

ifadelerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. c<a<bc < a < bCevap
  2. B
    a<c<ba < c < b
  3. C
    c<b<ac < b < a
  4. D
    b<c<ab < c < a
  5. E
    a<b<ca < b < c

Cevap

c<a<bc < a < b sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta kosinüs ve sinüs negatif olduğundan, çarpımları olan aa pozitif ve a∈(0,0.5)a \in (0, 0.5) aralığındadır. bb ifadesi tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x=1a\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{a} özdeşliğine eşit olduğundan b>2b > 2 olur. Son olarak, bu aralıkta kosinüs değeri sinüs değerinden daha küçük olduğundan c=cos⁡x−sin⁡xc = \cos x - \sin x farkı negatif çıkacaktır. Bu durumda en küçük ifade negatif olan cc, en büyük ifade ise 22'den büyük olan bb olur. Doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin işaretlerini ve bölgelerini belirleme
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığı analitik düzlemde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Üçüncü bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 değerlerini alır.
Trigonometrik ifadelerin işaretlerini doğru belirlemek sıralama yapmanın ilk adımıdır.
2
aa ve bb ifadelerinin analizi ve karşılaştırılması
a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x çarpımı, iki negatif değerin çarpımı olduğu için pozitiftir (a>0a > 0). b=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x=1ab = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{a} olur. x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) için 2x∈(2π,5π2)2x \in \left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right) olup birinci bölgededir. Burada a=12sin⁡(2x)a = \frac{1}{2}\sin(2x) değeri (0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right) aralığındadır. Dolayısıyla b=1a>2b = \frac{1}{a} > 2 bulunur. Buradan 0<a<0.50 < a < 0.5 ve b>2b > 2 olduğu için a<ba < b elde edilir.
bb ifadesini özdeşlikler yardımıyla aa cinsinden yazarak iki pozitif değeri karşılaştırmak kolaylaşır.
3
cc ifadesinin işaretini belirleme ve son sıralamayı yapma
Üçüncü bölgenin ilk yarısında, yani (π,5π4)\left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) aralığında, cos⁡x\cos x değeri sin⁡x\sin x değerinden daha küçüktür (örneğin x=210∘x = 210^\circ için cos⁡210∘=−32≈−0.866\cos 210^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866 ve sin⁡210∘=−0.5\sin 210^\circ = -0.5 olup −0.866<−0.5-0.866 < -0.5 tir). Bu nedenle cos⁡x<sin⁡x  ⟹  cos⁡x−sin⁡x<0\cos x < \sin x \implies \cos x - \sin x < 0 yani c<0c < 0 bulunur. Sonuç olarak c<0<a<bc < 0 < a < b olduğundan doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Negatif olan cc değerinin pozitif olan aa ve bb değerlerinden küçük olduğunu belirterek sıralama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Üçüncü bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri, tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} özdeşliği ve değer sıralaması.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru