Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=tan⁡x+cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}

ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1b
  2. 2c
  3. 3a

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir. İkinci bölgenin ilk yarısında yer alan xx açısı için sinüs değeri pozitif olup kosinüsün mutlak değerinden büyüktür, bu sebeple a=sin⁡x+cos⁡x>0a = \sin x + \cos x > 0 olur. c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x ifadesi zıt işaretli sayıların çarpımı olarak negatiftir ve (−0.5,0)(-0.5, 0) aralığındadır. b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x ifadesi ise bu negatif çarpımın çarpmaya göre tersi olduğundan −2-2 veya daha küçük değerler alır. Bu durum b<c<ab < c < a sonucunu doğurur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralıkta sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x fonksiyonlarının işaretlerini ve birbirlerine göre büyüklüklerini belirlemek.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında yani ikinci bölgenin ilk yarısında sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| olur. Buradan a=sin⁡x+cos⁡x>0a = \sin x + \cos x > 0 elde edilir.
aa ifadesinin işaretini belirlemek için.
2
cc ifadesinin işaretini ve alabileceği değer aralığını bulmak.
c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x olup zıt işaretli iki ifadenin çarpımı olduğundan negatiftir. İfadeyi yarım açı formülüyle c=sin⁡(2x)2c = \frac{\sin(2x)}{2} olarak yazabiliriz. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) ise 2x∈(π,3π2)2x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) yani üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede sinüs fonksiyonu negatif olduğundan c∈(−0.5,0)c \in (-0.5, 0) aralığında yer alır.
cc ifadesinin sınırlarını belirlemek için.
3
bb ifadesini sadeleştirip sınırlarını bulmak ve tüm ifadeleri sıralamak.
b=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡x⋅cos⁡x=1cb = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{1}{c} olur. c∈(−0.5,0)c \in (-0.5, 0) aralığında olduğundan, b=1c≤−2b = \frac{1}{c} \leq -2 olur. Dolayısıyla b≤−2b \leq -2, c∈(−0.5,0)c \in (-0.5, 0) ve a>0a > 0 olduğundan doğru sıralama b<c<ab < c < a olarak bulunur.
bb ifadesinin sınırlarını belirleyerek nihai sıralamayı yapmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve İkinci Bölgede Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru