Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=tan⁡xsin⁡xb=cot⁡xcos⁡xc=tan⁡x⋅cot⁡x\begin{aligned} a &= \frac{\tan x}{\sin x} \\ b &= \frac{\cot x}{\cos x} \\ c &= \tan x \cdot \cot x \end{aligned}

olarak tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1aa
  2. 2cc
  3. 3bb

Cevap

a < c < b
İkinci bölgenin ikinci yarısında kosinüs negatif ve sinüs pozitif değerler alır. İfadeler sadeleştirildiğinde a=sec⁡xa = \sec x negatif, b=csc⁡xb = \csc x ise 2\sqrt{2}'den büyük pozitif bir değer alır. c=1c = 1 sabit sayısı da pozitif olduğundan, negatif olan aa en küçük, 11'den büyük olan bb ise en büyük olur. Bu durumda doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik ifadeleri özdeşlikler yardımıyla en sade biçimlerine dönüştürelim.
a=sin⁡x/cos⁡xsin⁡x=1cos⁡x=sec⁡xa = \frac{\sin x / \cos x}{\sin x} = \frac{1}{\cos x} = \sec x,
b=cos⁡x/sin⁡xcos⁡x=1sin⁡x=csc⁡xb = \frac{\cos x / \sin x}{\cos x} = \frac{1}{\sin x} = \csc x,
c=tan⁡x⋅cot⁡x=1c = \tan x \cdot \cot x = 1 elde edilir.
Sıralama yapabilmek için ifadelerin en yalın hallerini bulmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığına göre elde edilen fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını belirleyelim.
Bu aralıkta (ikinci bölgenin ikinci yarısı) cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan a=sec⁡x<0a = \sec x < 0 olur.
sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan b=csc⁡x>0b = \csc x > 0 olur.
c=1c = 1 ise pozitif bir sabit değerdir.
Fonksiyonların bölgelerdeki işaretleri sıralamada öncelikli kriterdir. Negatif olan aa değerinin en küçük olduğu bu aşamada belirlenir.
3
Pozitif olan bb ve cc değerlerini kendi aralarında karşılaştıralım.
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığında 0<sin⁡x<220 < \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2} aralığındadır. Bu durumda b=1sin⁡x>2>1b = \frac{1}{\sin x} > \sqrt{2} > 1 olur.
c=1c = 1 olduğundan, c<bc < b ilişkisi kurulur.
Aynı işaretli değerlerin büyüklük ilişkisini belirlemek için fonksiyonların bu aralıktaki sınır değerleri incelenir.
4
Elde edilen tüm bilgileri birleştirerek nihai sıralamayı oluşturalım.
a<0a < 0, c=1c = 1 ve b>2b > \sqrt{2} olduğundan doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Negatif değer en küçük, değeri en büyük olan pozitif terim ise en büyük olacak şekilde sıralama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru