Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=tan⁡x−cot⁡xc=sec⁡x−csc⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sec x - \csc x \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. a<c<ba < c < bCevap
  2. B
    c<a<bc < a < b
  3. C
    a<b<ca < b < c
  4. D
    b<a<cb < a < c
  5. E
    c<b<ac < b < a

Cevap

a < c < b
Verilen aralıkta sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x olduğundan a>0a > 0 olur. bb ve cc ifadeleri düzenlendiğinde c=asin⁡xcos⁡xc = \frac{a}{\sin x \cos x} ve b=c(sin⁡x+cos⁡x)b = c(\sin x + \cos x) elde edilir. 0<sin⁡xcos⁡x<1/20 < \sin x \cos x < 1/2 olduğundan c>2a>ac > 2a > a olur. Ayrıca sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 olduğundan b>cb > c bulunur. Buradan a<c<ba < c < b elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların temel özelliklerini ve işaretlerini belirleme.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında (birinci bölgenin ikinci yarısında), sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 olur. Dolayısıyla a=sin⁡x−cos⁡x>0a = \sin x - \cos x > 0 elde edilir.
Sıralama yapabilmek i��in öncelikle terimlerin işaretlerini ve birbirleriyle olan temel büyüklük ilişkilerini belirlemeliyiz.
2
bb ve cc ifadelerini ortak paydada yazarak sadeleştirme ve aa türünden ifade etme.
b=tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡x=a(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡xb = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = \frac{a(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} ve c=sec⁡x−csc⁡x=1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡x=asin⁡xcos⁡xc = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x} = \frac{a}{\sin x \cos x} elde edilir.
İfadeleri karşılaştırılabilir hale getirmek için hepsini ortak bir çarpan olan aa cinsinden yazmak sıralamayı kolaylaştırır.
3
aa, bb ve cc değerlerini karşılaştırma.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında 0<sin⁡xcos⁡x<120 < \sin x \cos x < \frac{1}{2} olduğundan 1sin⁡xcos⁡x>2\frac{1}{\sin x \cos x} > 2 olur. Buradan c=asin⁡xcos⁡x>2a>ac = \frac{a}{\sin x \cos x} > 2a > a bulunur. Ayrıca aynı aralıkta 1<sin⁡x+cos⁡x<21 < \sin x + \cos x < \sqrt{2} olduğundan b=c⋅(sin⁡x+cos⁡x)>cb = c \cdot (\sin x + \cos x) > c elde edilir. Sonuç olarak a<c<ba < c < b sıralamasına ulaşılır.
Elde edilen oranları ve trigonometrik değerlerin aralıktaki sınırlarını kullanarak nihai sıralamayı belirleriz.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla ifadeleri sadeleştirme ve belirli bir aralıkta fonksiyon değerlerini sıralama.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru