Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) olmak üzere,
a=1+sin⁡(2x)−cos⁡xa = \sqrt{1 + \sin(2x)} - \cos x
b=1−sin⁡(2x)+sin⁡xb = \sqrt{1 - \sin(2x)} + \sin x
c=sin⁡3x+cos⁡3x1−sin⁡xcos⁡xc = \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{1 - \sin x \cos x}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. a<c<ba < c < bCevap
  2. B
    a<b<ca < b < c
  3. C
    b<a<cb < a < c
  4. D
    c<a<bc < a < b
  5. E
    b<c<ab < c < a

Cevap

En küçük değer aa, ortanca değer cc ve en büyük değer bb olacak şekilde a<c<ba < c < b sıralamas�� doğrudur.
Verilen aralıkta trigonometrik özdeşlikler kullanılarak ifadeler sadeleştirildiğinde a=sin⁡xa = \sin x, b=cos⁡xb = \cos x ve c=sin⁡x+cos⁡xc = \sin x + \cos x elde edilir. Dördüncü bölgenin son çeyreğinde sin⁡x\sin x negatif, cos⁡x\cos x pozitif değerler alır ve kosinüsün mutlak değeri sinüsün mutlak değerinden büyüktür. Bu durumda aa negatif, bb ve cc pozitif olur. cc ifadesi pozitif olan kosinüs değerine negatif bir sinüs değeri eklendiği için bb değerinden küçük, negatif olan sinüs değerine pozitif bir kosinüs eklendiği için de aa değerinden büyüktür. Bu gerekçelerle en küçük değer aa, ortanca değer cc ve en büyük değer bb olur.

Adım Adım Çözüm

1
aa ifadesini sadeleştirmek için karekök içerisindeki ifadeyi tam kare biçiminde yazalım.
1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2 olduğundan, 1+sin⁡(2x)=(sin⁡x+cos⁡x)2=∣sin⁡x+cos⁡x∣\sqrt{1 + \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x| elde edilir.
Kareköklü bir ifadenin dışarıya mutlak değerli olarak çıkarılması gerektiğini uygulamak.
2
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) aralığına göre mutlak değerin işaretini belirleyelim ve aa değerini bulalım.
Dördüncü bölgenin son çeyreğinde cos⁡x>0\cos x > 0 ve sin⁡x<0\sin x < 0 olup, bu aralıktaki açılar için cos⁡x>∣sin⁡x∣\cos x > |\sin x| şartı sağlanır. Dolayısıyla, sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 olur. Bu durumda mutlak değer içi pozitif olduğundan dışarıya aynen çıkar: a=(sin⁡x+cos⁡x)−cos⁡x=sin⁡xa = (\sin x + \cos x) - \cos x = \sin x bulunur.
Belirtilen bölgedeki trigonometrik değerlerin büyüklük ilişkisini analiz etmek.
3
bb ifadesini sadeleştirmek için karekök içerisindeki ifadeyi tam kare şeklinde yazarak mutlak değer işaretini belirleyelim.
1−sin⁡(2x)=(sin⁡x−cos⁡x)21 - \sin(2x) = (\sin x - \cos x)^2 olduğundan, 1−sin⁡(2x)=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{1 - \sin(2x)} = |\sin x - \cos x| olur. sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan sin⁡x−cos⁡x<0\sin x - \cos x < 0 olur. Mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar: b=−(sin⁡x−cos⁡x)+sin⁡x=cos⁡x−sin⁡x+sin⁡x=cos⁡xb = -(\sin x - \cos x) + \sin x = \cos x - \sin x + \sin x = \cos x bulunur.
Negatif olan mutlak değer içinin dışarıya işaret değiştirerek çıkarılmasını sağlamak.
4
cc ifadesinin pay kısmındaki iki küp toplamını çarpanlarına ayırarak sadeleştirelim.
sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(sin⁡2x−sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x)=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) yazılır. Paydadaki terimle sadeleştiğinde: c=sin⁡x+cos⁡xc = \sin x + \cos x elde edilir.
Cebirsel özdeşlikler yardımıyla rasyonel trigonometrik ifadeyi en yalın haline getirmek.
5
Elde edilen a=sin⁡xa = \sin x, b=cos⁡xb = \cos x ve c=sin⁡x+cos⁡xc = \sin x + \cos x değerlerini dördüncü bölge özelliklerine göre sıralayalım.
sin⁡x<0\sin x < 0 olduğundan aa negatiftir. cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan bb pozitiftir. cos⁡x>∣sin⁡x∣\cos x > |\sin x| olduğundan c=sin⁡x+cos⁡x>0c = \sin x + \cos x > 0 olup pozitiftir. sin⁡x\sin x negatif bir değer olduğundan, sin⁡x+cos⁡x<cos⁡x\sin x + \cos x < \cos x yani c<bc < b olur. Benzer şekilde cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan, sin⁡x+cos⁡x>sin⁡x\sin x + \cos x > \sin x yani c>ac > a olur. Bu durumda doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Elde edilen sadeleşmiş trigonometrik ifadeleri bölge işaretleri ve büyüklüklerine göre nihai olarak sıralamak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sadeleştirme yapılması ve dördüncü bölgedeki açıların trigonometrik değerlerinin işaret ve büyüklük analiziyle sıralanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru