Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
a=cos⁡(190∘)a = \cos(190^\circ)
b=sin⁡(290∘)b = \sin(290^\circ)
c=tan⁡(200∘)c = \tan(200^\circ)

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. a<b<ca < b < cCevap
  2. B
    b<a<cb < a < c
  3. C
    a<c<ba < c < b
  4. D
    b<c<ab < c < a
  5. E
    c<a<bc < a < b

Cevap

Doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Üçüncü bölgede yer alan c=tan⁡(200∘)c = \tan(200^\circ) ifadesinin değeri pozitiftir (c>0c > 0). Negatif olan aa ve bb ifadeleri dar açıya indirgendiğinde a=−cos⁡(10∘)a = -\cos(10^\circ) ve b=−cos⁡(20∘)b = -\cos(20^\circ) olur. Birinci bölgede cos⁡(10∘)>cos⁡(20∘)\cos(10^\circ) > \cos(20^\circ) olduğundan, negatif işaretler eklendiğinde −cos⁡(10∘)<−cos⁡(20∘)-\cos(10^\circ) < -\cos(20^\circ) olur. Bu durumda a<ba < b elde edilir. Pozitif olan cc değeri en büyük olduğundan doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların bulundukları bölgeleri ve fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleyelim.
190∘190^\circ açısı III. bölgede olduğundan a=cos⁡(190∘)<0a = \cos(190^\circ) < 0 (negatif) olur.
290∘290^\circ açısı IV. bölgede olduğundan b=sin⁡(290∘)<0b = \sin(290^\circ) < 0 (negatif) olur.
200∘200^\circ açısı III. bölgede olduğundan c=tan⁡(200∘)>0c = \tan(200^\circ) > 0 (pozitif) olur.
Sıralama yaparken ilk olarak değerlerin işaretlerini belirlemek, pozitif ve negatif grupları ayırmamızı sağlar.
2
Negatif olan aa ve bb değerlerini kıyaslayabilmek için birinci bölgeye indirgeyelim.
a=cos⁡(190∘)=cos⁡(180∘+10∘)=−cos⁡(10∘)a = \cos(190^\circ) = \cos(180^\circ + 10^\circ) = -\cos(10^\circ)
b=sin⁡(290∘)=sin⁡(270∘+20∘)=−cos⁡(20∘)b = \sin(290^\circ) = \sin(270^\circ + 20^\circ) = -\cos(20^\circ) olur.
Farklı bölgelerdeki negatif değerleri karşılaştırmak için onları aynı türden dar açıların negatifleri olarak ifade etmemiz gerekir.
3
Birinci bölgede kosinüs fonksiyonunun azalan olduğunu kullanarak aa ve bb değerlerini karşılaştıralım.
0∘<10∘<20∘<90∘0^\circ < 10^\circ < 20^\circ < 90^\circ olduğundan cos⁡(10∘)>cos⁡(20∘)>0\cos(10^\circ) > \cos(20^\circ) > 0 olur.
Eşitsizliği −1-1 ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir: −cos⁡(10∘)<−cos⁡(20∘)-\cos(10^\circ) < -\cos(20^\circ) yani a<ba < b elde edilir.
Kosinüs fonksiyonu birinci bölgede açı büyüdükçe küçülen (azalan) bir fonksiyondur. Negatif sayılarda ise mutlak değerce büyük olan sayı daha küçüktür.
4
Elde edilen tüm karşılaştırmaları birleştirerek nihai sıralamayı yazalım.
a<b<0a < b < 0 ve c>0c > 0 olduğundan, doğru sıralama a<b<ca < b < c olur.
Negatif sayılar her zaman pozitif sayılardan küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açıya indirgenerek sıralanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru