Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−4x+6f(x) = x^2 - 4x + 6 fonksiyonunun x=3x = 3 apsisli noktasındaki normal doğrusu, g(x)=x3−2x2+ax+bg(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b fonksiyonunun grafiğine x=1x = 1 apsisli noktasında teğettir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevap: 5

Cevap

a + b toplamının değeri 5'tir.
f(x)f(x)'in x=3x=3 noktasındaki teğet eğimi 22 olduğundan normal doğrusunun eğimi −12-\frac{1}{2}'dir. A(3,3)A(3,3) noktasından geçen bu normal doğrusunun denklemi y=−12x+92y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} olarak elde edilir. Bu doğru g(x)g(x)'e x=1x=1 noktasında teğet olduğu için türev değeri teğet eğimine eşit olmalıdır: g′(1)=a−1=−12  ⟹  a=12g'(1) = a - 1 = -\frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2}. Teğet noktası doğrunun üzerinde yer aldığından (1,4)(1, 4) noktasıdır. Bu nokta g(x)g(x) üzerinde de bulunduğundan g(1)=4  ⟹  a+b−1=4  ⟹  a+b=5g(1) = 4 \implies a+b-1 = 4 \implies a+b = 5 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun türevini alarak x=3x = 3 noktasındaki teğet eğimini ve buna bağlı olarak normal doğrusunun eğimini hesaplayınız.
f′(x)=2x−4  ⟹  f′(3)=2f'(x) = 2x - 4 \implies f'(3) = 2 olur. Normal doğrusunun eğimi mn=−12m_n = -\frac{1}{2} olarak elde edilir.
Teğet ve normal doğruları birbirine dik olduğundan eğimleri çarpımı −1-1 olmalıdır.
2
Parabol üzerindeki normal noktasını belirleyip normal doğrusunun denklemini kurunuz.
f(3)=3f(3) = 3 olduğundan normal doğrusu (3,3)(3, 3) noktasından geçer. Denklemi y−3=−12(x−3)  ⟹  y=−12x+92y - 3 = -\frac{1}{2}(x - 3) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2} olur.
Bir doğrunun denklemini yazmak için eğimi ve geçtiği bir nokta kullanılır.
3
Normal doğrusunun g(x)g(x) eğrisine x=1x = 1 noktasında teğet olması bilgisini kullanarak aa parametresini bulunuz.
g′(x)=3x2−4x+a  ⟹  g′(1)=a−1g'(x) = 3x^2 - 4x + a \implies g'(1) = a - 1 olur. Eğim −12-\frac{1}{2} olduğundan a−1=−12  ⟹  a=12a - 1 = -\frac{1}{2} \implies a = \frac{1}{2} bulunur.
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
4
Teğet noktasının koordinatlarını g(x)g(x) fonksiyonunda yerine yazarak a+ba + b değerini hesaplayınız.
x=1x = 1 için teğet doğrusunun ordinatı y=−12(1)+92=4y = -\frac{1}{2}(1) + \frac{9}{2} = 4 olur. g(1)=4  ⟹  13−2(1)2+a+b=4  ⟹  a+b−1=4  ⟹  a+b=5g(1) = 4 \implies 1^3 - 2(1)^2 + a + b = 4 \implies a + b - 1 = 4 \implies a + b = 5 elde edilir.
Teğet noktası hem teğet doğrusunun hem de fonksiyon eğrisinin üzerinde yer alır.

Anahtar Kavram

Türevin geometrik yorumunda teğet ve normal doğrularının eğimleri ile denklemlerinin oluşturulması ve ortak teğet ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru