(x - 3)^2 \cdot (8 - x) > 0 \neşitsizliğini sağlayan kaç farklı pozitif tam sayı değeri va… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

(x - 3)^2 \cdot (8 - x) > 0

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı pozitif tam sayı değeri vardır?

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayı değerlerinin sayısı 6'dır.

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların sayısı 6'dır.

(x-3)^2

ifadesi

x \neq 3

için her zaman pozitif olduğundan,

(x-3)^2 \cdot (8-x) > 0

eşitsizliğinin sağlanması için

8-x > 0

yani

x < 8

olmalıdır. Ancak

x=3

için ifade sıfır olduğundan bu değer çözüm kümesinden çıkarılır. Buradan çözüm kümesi

(-\infty, 8) \setminus \{3\}

olarak bulunur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar

\{1, 2, 4, 5, 6, 7\}

olup toplamda 6 tanedir.

Eşitsizliği oluşturan çarpanların köklerini bulalım.

(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3

(çift katlı kök)

8 - x = 0 \implies x = 8

(tek katlı kök)

İşaret tablosu oluşturmak için eşitsizliğin sınır değerlerini (köklerini) belirlememiz gerekir.

İşaret tablosunu oluşturup en sağdaki bölgenin işaretini belirleyelim.

En büyük dereceli terimlerin katsayıları çarpımı:

(+)^2 \cdot (-) = (-)

olduğundan tabloya en sağdan (8'in sağından) eksi (

-

) işareti ile başlanır.

Eşitsizliğin hangi aralıklarda hangi işaretleri alacağını saptamak için baş katsayının işaretini belirlemeliyiz.

Köklerden geçerek işaret tablosunu tamamlayalım.

8 tek katlı kökünden geçerken işaret değişir ve artı (

+

) olur. 3 çift katlı kökünden geçerken işaret değişmez, artı (

+

) olarak kalır.

Çift katlı köklerde işaretin değişmediği kuralını uygulayarak tüm bölgelerin işaretini buluruz.

Eşitsizliği sağlayan çözüm kümesini ve bu kümedeki pozitif tam sayıları belirleyelim.

Eşitsizlikte sıfırdan büyük (

> 0

) bölgeler istendiği için artı (

+

) olan bölgeler alınır. Ancak

x = 3

değeri ifadeyi sıfır yaptığı ve eşitsizlikte eşitlik bulunmadığı için çözüm kümesine dahil edilmez. Çözüm kümesi:

(-\infty, 8) \setminus \{3\}

olur. Bu aralıktaki pozitif tam sayılar:

1, 2, 4, 5, 6, 7

olmak üzere 6 tanedir.

Soruda istenen koşulu sağlayan pozitif tam sayıların sayısını bulmak için doğru çözüm kümesini analiz ederiz.

İkinci dereceden ve yüksek dereceden eşitsizliklerin çözümünde işaret tablosu oluşturma ve çift katlı köklerin incelenmesi.

Tahmini Süre:45s

Soru