Examkin

Soru

Zorluk: Kolayİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
−x2+8x−16≥0-x^2 + 8x - 16 \geq 0

eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    (−∞,4](-\infty, 4]
  2. B
    [4,∞)[4, \infty)
  3. \{4\}Cevap
  4. D
    \varnothing
  5. E
    \mathbb{R}

Cevap

Çözüm kümesi yalnızca 4 elemanını içeren tek elemanlı kümedir.
Verilen −x2+8x−16≥0-x^2 + 8x - 16 \geq 0 eşitsizliğinde sol taraf eksi parantezine alındığında −(x2−8x+16)≥0-(x^2 - 8x + 16) \geq 0 ve buradan da −(x−4)2≥0-(x-4)^2 \geq 0 elde edilir. Her iki taraf −1-1 ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir ve (x−4)2≤0(x-4)^2 \leq 0 olur. Reel sayılarda bir ifadenin karesi daima sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğundan, bu eşitsizliğin sağlanabilmesi için tek durum ifadenin sıfıra eşit olmasıdır. Buradan x−4=0x - 4 = 0 ve x=4x = 4 bulunur. Dolayısıyla çözüm kümesi yalnızca tek bir elemandan oluşur ve bu eleman 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitsizlikteki ifadeyi eksi parantezine alarak tam kare ifadeye dönüştürün.
−(x2−8x+16)≥0⇒−(x−4)2≥0-(x^2 - 8x + 16) \geq 0 \Rightarrow -(x-4)^2 \geq 0 ifadesi elde edilir.
İfadenin kökünü ve işaret yapısını daha kolay analiz edebilmek için tam kare biçimine getirmek gerekir.
2
Eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarparak eşitsizliği yön değiştirin.
(x−4)2≤0(x-4)^2 \leq 0 eşitsizliği elde edilir.
Karesel bir ifadenin i��aretini incelemeyi kolaylaştırmak.
3
Reel sayılarda bir ifadenin karesinin işaretini göz önüne alarak çözüm kümesini belirleyin.
Bir gerçel sayının karesi daima sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir. Bu yüzden (x−4)2≤0(x-4)^2 \leq 0 durumunun sağlanabilmesi için tek olasılık (x−4)2=0(x-4)^2 = 0 olmasıdır. Buradan x=4x = 4 bulunur.
Eşitsizliği sağlayan gerçel sayı değerlerini belirlemek.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde çift katlı köklerin işaret tablosundaki davranışı ve başkatsayı işaretinin tespiti.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi