Examkin

Soru

Zorluk: Kolayİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
x2−6x+9≤0x^2 - 6x + 9 \le 0 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi boş kümedir.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen eşitsizliğin çözüm kümesi boş küme değil, tek elemanlı olan {3}\{3\} kümesidir. Bu nedenle önerme yanlıştır.
Verilen önerme yanlıştır çünkü x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 ifadesi her xx gerçel sayısı için pozitif veya sıfıra eşittir. Eşitsizlikte 'küçük veya eşit' (≤\le) sembolü kullanıldığı için ifadenin sıfır olduğu x=3x = 3 değeri eşitsizliği sağlar. Bu sebeple çözüm kümesi {3}\{3\} kümesidir ve boş küme değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikteki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırın.
x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 tam kare ifadesi elde edilir.
İfadenin köklerini ve işaret durumunu incelemek için çarpanlarına ayırma işlemi yapılır.
2
Eşitsizliği sağlayan kökleri belirleyin.
(x−3)2=0⇒x=3(x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 (çift katlı kök).
Tam kare ifadelerin kökleri çift katlı köktür ve işaret tablosunda işaret değişimi yaratmaz.
3
Kök değerinin eşitsizlik şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=3x = 3 için (3−3)2=0≤0(3 - 3)^2 = 0 \le 0 sağlandığından, x=3x = 3 değeri çözüm kümesine dahildir.
Eşitsizlikte 'küçük veya eşit' (≤\le) sembolü kullanıldığı için sıfır yapan değer çözüm kümesine eklenmelidir.
4
Çözüm kümesini tanımlayın ve önermenin doğruluğunu belirleyin.
Çözüm kümesi {3}\{3\} olarak bulunur. Küme boş olmadığından önerme yanlıştır.
Önerme çözüm kümesinin boş küme olduğunu iddia etmektedir, bu iddia gerçeği yansıtmamaktadır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde tam kare ifadeler, çift katlı kökler ve eşitlik durumunun çözüm kümesine etkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi