Examkin

Soru

Zorluk: Kolayİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi
x2−4x−5<0x^2 - 4x - 5 < 0

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı xx tam sayı değeri vardır?

Cevap: 5

Cevap

Eşitsizliği sağlayan 5 farklı tam sayı değeri vardır.
Verilen x2−4x−5<0x^2 - 4x - 5 < 0 eşitsizliğinde ifade (x−5)(x+1)<0(x-5)(x+1) < 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Kökler −1-1 ve 55 olup başkatsayı pozitif olduğu için işaret tablosunda kökler arası negatif (−-) işaretlidir. Dolayısıyla çözüm kümesi (−1,5)(-1, 5) açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 olup 5 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
x2−4x−5=0x^2 - 4x - 5 = 0 denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulun.
(x−5)(x+1)=0⇒x1=−1(x - 5)(x + 1) = 0 \Rightarrow x_1 = -1 ve x2=5x_2 = 5 elde edilir.
Eşitsizlik işaret tablosunun sınır noktalarını belirlemek için öncelikle ifadenin kökleri bulunur.
2
Bulunan köklerle işaret tablosu oluşturun ve ifadenin işaretini inceleyin.
Başkatsayı (x2x^2'nin katsayısı) +1+1 (pozitif) olduğundan tablonun en sağından ++ ile başlanır. Köklerden geçildikçe işaret değiştirilir ve tablo +∣−∣++ \mid - \mid + şeklinde oluşur. Eşitsizlik <0<0 olduğundan negatif bölge olan (−1,5)(-1, 5) aralığı çözüm kümesi olarak seçilir.
İkinci dereceden ifadenin hangi aralıklarda negatif değer aldığını belirlemek için işaret incelemesi yapılır.
3
(−1,5)(-1, 5) açık aralığında yer alan tam sayıları belirleyin ve sayısını bulun.
Bu aralıktaki tam sayılar 0,1,2,3,40, 1, 2, 3, 4 değerleridir. Toplamda 5 adet tam sayı değeri vardır.
Bizden istenen, eşitsizliği sağlayan tam sayıların adedidir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çarpanlara ayrılarak köklerinin bulunması ve işaret tablosu yardımıyla çözüm kümesinin belirlenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi