Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=x2−2∣x∣−3f(x) = x^2 - 2|x| - 3
fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun [−2,3][-2, 3] kapalı aralığındaki en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    -3
  2. B
    -7
  3. C
    1
  4. -4Cevap
  5. E
    -2

Cevap

En büyük değer ile en küçük değerin toplamı −4-4 olur.
En büyük değer ile en küçük değerin toplamını −4-4 olarak veren seçenek doğrudur. Çünkü [−2,3][-2, 3] kapalı aralığında fonksiyonun alabileceği en küçük değer x=1x = 1 ve x=−1x = -1 noktalarında −4-4, en büyük değer ise x=3x = 3 noktasında 00 olarak hesaplanır. Bu iki değerin toplamı −4-4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer tanımına göre fonksiyonu parçalı biçimde yazalım.
f(x)={x2−2x−3,x≥0x2+2x−3,x<0f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x - 3, & x \geq 0 \\ x^2 + 2x - 3, & x < 0 \end{cases}
Değişkenin işaretine göre mutlak değer dışına nasıl çıkacağını belirlemek için.
2
Her iki parçanın [−2,3][-2, 3] aralığı içindeki tepe noktalarını ve bu noktalardaki değerleri bulalım.
x≥0x \geq 0 için parabolün tepe noktası r=−(−2)2(1)=1r = \frac{-(-2)}{2(1)} = 1 olup bu değer aralıktadır. En küçük değer f(1)=12−2(1)−3=−4f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = -4 olur.

x<0x < 0 için parabolün tepe noktası r=−22(1)=−1r = \frac{-2}{2(1)} = -1 olup bu değer de aralıktadır. En küçük değer f(−1)=(−1)2+2(−1)−3=−4f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = -4 olur.
Kollar yukarı doğru olan parabollerin en küçük değerlerini tepe noktalarında almasından dolayı minimum değer adaylarını belirlemek amacıyla.
3
Sınır noktalarındaki (x=−2x = -2 ve x=3x = 3) ve parçaların birleştiği noktadaki (x=0x = 0) fonksiyon değerlerini hesaplayalım.
f(−2)=(−2)2−2∣−2∣−3=4−4−3=−3f(-2) = (-2)^2 - 2|-2| - 3 = 4 - 4 - 3 = -3
f(0)=02−2∣0∣−3=−3f(0) = 0^2 - 2|0| - 3 = -3
f(3)=32−2∣3∣−3=9−6−3=0f(3) = 3^2 - 2|3| - 3 = 9 - 6 - 3 = 0
Sınır değerlerinde veya kritik noktalarda fonksiyonun alabileceği en büyük ve en küçük değerleri kontrol etmek için.
4
Elde edilen tüm değerleri karşılaştırarak en büyük ve en küçük değerleri belirleyip toplayalım.
En küçük değer: −4-4 (x=1x = 1 ve x=−1x = -1 noktalarında)
En büyük değer: 00 (x=3x = 3 noktasında)
Toplam: 0+(−4)=−40 + (-4) = -4
Soruda istenen en büyük ve en küçük değerlerin toplamını bulmak için.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki maksimum ve minimum değerlerini bulmak için aralık içindeki tepe noktaları (varsa) ile aralığın uç noktalarındaki değerler hesaplanıp karşılaştırılır.
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri

Bu konudan daha fazla soru