Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBasit Olayların Olasılığı

Bir çember üzerinde eşit aralıklarla işaretlenmiş 12 nokta, bir düzgün onikigenin köşeleridir. Bu 12 nokta arasından rastgele seçilen üç farklı noktanın birleştirilmesiyle bir üçgen oluşturuluyor.

Buna göre, oluşturulan bu üçgenin geniş açılı bir üçgen olma olasılığı kaçtır?

  1. 611\frac{6}{11}Cevap
  2. B
    911\frac{9}{11}
  3. C
    411\frac{4}{11}
  4. D
    311\frac{3}{11}
  5. E
    211\frac{2}{11}

Cevap

Seçilen üçgenin geniş açılı olma olasılığı 6/11'dir.
Düzgün onikigenin köşeleriyle oluşturulabilecek tüm üçgenlerin sayısı 220'dir. Geniş açılı üçgenlerin oluşabilmesi için üçgenin köşeleri arasındaki yaylardan birinin yarım çemberden uzun olması gerekir. Saat yönündeki sıralamayı kullanarak her bir köşeden başlayıp 5 birimlik yay içinde kalan diğer 2 köşeyi seçtiğimizde (toplam 10 durum), her köşe için 10 adet olmak üzere toplam 120 benzersiz geniş açılı üçgen elde edilir. Olasılık değeri de 120/220 sadeleştirilerek 6/11 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam olası üçgen sayısını kombinasyon yardımıyla hesaplamak.
12 noktadan seçilen 3 nokta ile oluşturulabilecek tüm üçgenlerin sayısı: (123)=12×11×103×2×1=220\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 adet.
Olasılık hesabında örnek uzayın eleman sayısını belirlemek gerekir.
2
Çember üzerindeki yay uzunlukları cinsinden geniş açılı üçgen olma koşulunu belirlemek.
Üçgenin köşeleri arasındaki yay segmentleri saat yönünde x,y,zx, y, z birim olsun (x+y+z=12x+y+z=12 ve x,y,z≥1x,y,z \ge 1). Üçgenin geniş açılı olması için köşelerden birinin gördüğü yayın yarım çemberden büyük olması gerekir. Bu da x,y,zx, y, z değerlerinden birinin 66'dan büyük (>6> 6) olması anlamına gelir.
Çemberde bir çevre açının geniş açı (>90∘>90^\circ) olması için gördüğü yayın ölçüsünün 180∘180^\circ'den (yani 6 birimlik yaydan) büyük olması şarttır.
3
Geniş açılı üçgenlerin sayısını benzersiz bir sıralama yöntemiyle saymak.
Bir köşe başlangıç noktası olarak seçildiğinde, üçgenin diğer iki köşesi bu noktadan sonraki saat yönündeki ilk 5 nokta arasından seçilirse, kalan geri dönüş yayı en az 12−5=712-5=7 birim olur ve 66'dan büyük kalır. Bu durum her zaman geniş açılı bir üçgen tanımlar. Bu seçim (52)=10\binom{5}{2} = 10 yolla yapılır. Toplam 12 köşe başlangıç noktası olabileceğinden, toplam geniş açılı üçgen sayısı 12×10=12012 \times 10 = 120 olarak bulunur.
Her geniş açılı üçgenin en uzun yayı gören benzersiz bir 'ilk' köşesi (saat yönünde en önde olan köşesi) vardır. Bu sayede her geniş açılı üçgeni tam olarak bir kez saymış oluruz.
4
İstenen olasılık değerini hesaplamak.
P(Genis¸ Ac¸ılı)=120220=611P(\text{Geniş Açılı}) = \frac{120}{220} = \frac{6}{11} olarak sadeleştirilir.
İstenen durum sayısı toplam durum sayısına bölünerek basit olasılık tanımı uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir çember üzerinde seçilen noktalarla oluşturulan üçgenlerin açı özelliklerine göre kombinasyon ve olasılık hesabı.
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Olayların Olasılığı

Bu konudan daha fazla soru