Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları
Gerçel sayılarda tanımlı en geniş kümede
f(x)=x−2x2−2ax+3a+4f(x) = \frac{x - 2}{x^2 - 2ax + 3a + 4}
kuralıyla verilen ff fonksiyonunu süreksiz yapan yalnızca bir tane gerçel sayı değeri bulunmaktad��r.
Buna göre, parametre olan aa gerçel sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    −3-3
  2. 33Cevap
  3. C
    88
  4. D
    1111
  5. E
    1212

Cevap

Fonksiyonun süreksiz olduğu yalnızca bir noktanın bulunması için paydanın tam kare bir ifade belirtmesi gerekir. Buradan elde edilen geçerli parametre değerlerinin toplamı 3'tür.
Rasyonel bir fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, paydasını sıfır yapan değerlerdir. Fonksiyonun yalnızca bir noktada süreksiz olması için paydadaki ikinci dereceden denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır. Buradan a=4a = 4 veya a=−1a = -1 bulunur. Pay ile paydanın sadeleştiği a=8a = 8 durumunda ise fonksiyon iki noktada süreksiz olacağından bu değer alınmaz. Dolayısıyla uygun değerlerin toplamı 33 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel bir fonksiyonun süreksiz olduğu noktaları belirlemek için paydasını sıfır yapan değerler incelenir.
f(x)f(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalar, x2−2ax+3a+4=0x^2 - 2ax + 3a + 4 = 0 denkleminin gerçel kökleridir.
Rasyonel fonksiyonlar, paydanın sıfır olduğu (tanımsız olduğu) değerler dışında tüm gerçel sayılarda süreklidir.
2
Denklemin yalnızca bir gerçel kökü olması için disriminantın (Δ\Delta) sıfıra eşit olması koşulu uygulanır.
Δ=(−2a)2−4(1)(3a+4)=0\Delta = (-2a)^2 - 4(1)(3a + 4) = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden bir denklemin tek bir gerçel kökünün olması, o denklemin çakışık iki kökünün olması anlamına gelir ve bu durum Δ=0\Delta = 0 ile sağlanır.
3
Elde edilen disriminant denklemi sadeleştirilerek çözülür.
4a2−12a−16=0  ⟹  a2−3a−4=0  ⟹  (a−4)(a+1)=04a^2 - 12a - 16 = 0 \implies a^2 - 3a - 4 = 0 \implies (a - 4)(a + 1) = 0 buradan a=4a = 4 veya a=−1a = -1 bulunur.
Bu de��erler paydada tam kare bir ifade oluşturarak tek bir süreksizlik noktası (çift katlı kök) üretir.
4
Pay ile paydanın sadeleştiği durum (sadeleştirme yanılgısı) incelenir.
Payın kökü olan x=2x = 2 değeri paydanın da bir kökü kabul edilirse 22−2a(2)+3a+4=0  ⟹  a=82^2 - 2a(2) + 3a + 4 = 0 \implies a = 8 olur. Ancak a=8a = 8 için fonksiyon f(x)=x−2(x−2)(x−14)f(x) = \frac{x-2}{(x-2)(x-14)} haline gelir. Bu fonksiyon hem x=2x=2 hem de x=14x=14 değerlerinde tanımsızdır. Dolayısıyla süreksiz olduğu nokta sayısı 2 olur. Bu yüzden a=8a = 8 değeri çözüme dahil edilemez.
Bir rasyonel fonksiyonda pay ve paydada ortak çarpan olması ve bunların sadeleşmesi, fonksiyonun o noktada tanımlı olmasını sağlamaz; o nokta hala bir süreksizlik noktasıdır.
5
Geçerli olan aa değerleri toplanır.
4+(−1)=34 + (-1) = 3 elde edilir.
aa parametresinin alabileceği uygun tüm gerçel sayı değerlerinin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Rasyonel fonksiyonlarda süreksizlik noktaları ve kaldırılabilir süreksizlik kavramı
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Bu konudan daha fazla soru