f(x) = \begin{cases} ax - 3, & x < 4 \\ 2x + 5, & x \geq 4 \end{cases} biçiminde tanımlana… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \begin{cases} ax - 3, & x < 4 \\ 2x + 5, & x \geq 4 \end{cases}

biçiminde tanımlanan $f$ fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?

Cevap: 4

Süreklilik şartını sağlayan

a

değeri 4'tür.

Fonksiyonun her noktada sürekli olabilmesi için parçalandığı

x = 4

sınır değerinde de sürekli olması şarttır.

x = 4

'teki soldan limit

4a - 3

, sağdan limit ve

f(4)

değeri ise 13'tür. Bu iki değerin birbirine eşitlenmesiyle

4a - 3 = 13

denklemi elde edilir ve buradan

a = 4

sonucuna ulaşılır.

Kritik noktada süreklilik şartını belirleme

\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)

olmalıdır.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ ve sol limitlerinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması gerekir.

x = 4

noktasındaki soldan limiti hesaplama

\lim_{x \to 4^-} (ax - 3) = 4a - 3

x < 4

için fonksiyon

ax - 3

kuralını kullanır.

x = 4

noktasındaki sağdan limiti ve fonksiyon değerini hesaplama

\lim_{x \to 4^+} (2x + 5) = f(4) = 13

x \geq 4

için fonksiyon

2x + 5

kuralını kullanır.

Elde edilen limit değerlerini eşitleyip

a

değerini çözme

4a - 3 = 13 \implies a = 4

Sürekliliğin sağlanması için sağ ve sol limitlerin eşit olması zorunludur.

Parçalı tanımlı fonksiyonların kritik noktalarında limit ve süreklilik incelemesi

Soru