Examkin

Soru

Zorluk: KolaySüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları
f(x)=x+2x2−x−6f(x) = \frac{x + 2}{x^2 - x - 6}

fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    \{3\}
  2. B
    \{-2\}
  3. \{-2, 3\}Cevap
  4. D
    \{-3, 2\}
  5. E
    \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}

Cevap

\{-2, 3\} kümesi
Doğru cevap {−2,3}\{-2, 3\} kümesidir. Fonksiyonun paydasını sıfır yapan x=3x = 3 ve x=−2x = -2 değerleri için fonksiyon tanımsızdır. Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktada tanımlı olması zorunludur. Dolayısıyla fonksiyon bu iki noktada süreksizdir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonu tanımsız yapan değerleri bulmak amacıyla paydayı sıfır yapan denklemi kurarız.
x2−x−6=0x^2 - x - 6 = 0 denklemi elde edilir.
Rasyonel fonksiyonlar paydalarının sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır ve tanımlı olmadıkları noktalarda sürekli olamazlar.
2
Paydadaki ikinci dereceden ifadeyi çarpanlarına ayırarak kökleri buluruz.
x2−x−6=(x−3)(x+2)=0x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 denklemi üzerinden kökler x=3x = 3 ve x=−2x = -2 olarak elde edilir.
İkinci dereceden denklemlerin kökleri çarpanlarına ayırma yöntemi ile kolayca belirlenebilir.
3
Pay ve paydadaki ortak terimlerin sadeleşmesinin sürekliliğe etkisini analiz ederiz.
f(x)=x+2(x−3)(x+2)f(x) = \frac{x+2}{(x-3)(x+2)} fonksiyonunda x=−2x = -2 için 00\frac{0}{0} belirsizliği olu��sa da fonksiyon bu noktada tanımsız kalır. Sadeleştirme yapılması tanımsızlığı ortadan kaldırmaz. Dolayısıyla fonksiyon hem x=3x = 3 hem de x=−2x = -2 noktalarında süreksizdir. Süreksiz noktaların kümesi {−2,3}\{-2, 3\} olur.
Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için ilk koşul o noktada tanımlı olmasıdır.

Anahtar Kavram

Bir rasyonel fonksiyonun süreksiz olduğu noktalar, fonksiyonu tanımsız yapan (paydayı sıfır yapan) değerlerdir. Pay ve paydadaki ortak çarpanların sadeleşmesi, bu noktadaki süreksizliği ortadan kaldırmaz; grafik üzerinde o noktada bir delik (hole) oluşmasına yol açar.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Bu konudan daha fazla soru