Examkin

Soru

Zorluk: KolaySüreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları
f(x)={x2−ax−3,x≠3b,x=3f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - a}{x - 3}, & x \neq 3 \\ b, & x = 3 \end{cases}

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    6
  2. B
    9
  3. C
    12
  4. 15Cevap
  5. E
    18

Cevap

Fonksiyonun sürekli olması için a = 9 ve b = 6 olmalıdır, dolayısıyla toplam 15 bulunur.
Fonksiyonun x=3x=3 noktasında sürekli olabilmesi için limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir. x→3x \to 3 için payda sıfır olduğundan, limitin bir gerçel sayı çıkabilmesi için pay da sıfır olmalıdır. Buradan 32−a=0  ⟹  a=93^2 - a = 0 \implies a = 9 elde edilir. İfade sadeleştirilip limit alındığında lim⁡x→3(x+3)=6\lim_{x \to 3} (x+3) = 6 bulunur. Süreklilik gereği bu limit değeri f(3)=bf(3) = b değerine eşit olmalıdır. Dolayısıyla b=6b = 6 ve a+b=9+6=15a+b = 9+6=15 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Payın sıfır olma durumunu incelemek
32−a=0  ⟹  a=93^2 - a = 0 \implies a = 9
x=3x = 3 noktasında limitin var olabilmesi ve bir gerçel sayıya eşit olması için paydası sıfır olan ifadede payın da sıfır olması (yani 0/00/0 belirsizliği oluşması) gerekir.
2
Limiti hesaplamak ve belirsizliği gidermek
lim⁡x→3x2−9x−3=lim⁡x→3(x−3)(x+3)x−3=lim⁡x→3(x+3)=6\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6
Süreklilik tanımı gereği, fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki limiti mevcut olmalıdır. Ortak çarpanlar sadeleştirilerek limit değeri bulunur.
3
Süreklilik şartını uygulamak ve toplamı bulmak
b=6  ⟹  a+b=9+6=15b = 6 \implies a + b = 9 + 6 = 15
Fonksiyonun x=3x = 3 noktasında sürekli olması için lim⁡x→3f(x)=f(3)\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) olmalıdır. Buradan b=6b = 6 elde edilir ve toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktadaki sağ limit, sol limit ve fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir. Rasyonel ifadelerde paydanın sıfır olduğu bir noktada limitin var olması için payın da sıfır olması gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Süreklilik Tanımı ve Süreksizlik Noktaları

Bu konudan daha fazla soru