Dik koordinat düzleminde, a bir gerçel sayı olmak üzere, f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 3a + 2 p… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, $a$ bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 3a + 2

parabolünün tepe noktası olan $T$ noktası analitik düzlemin dördüncü bölgesindedir.

Bu parabolün simetri ekseni ile $y = x$ doğrusunun kesişim noktası $P$ olmak üzere, $T$ ve $P$ noktaları arasındaki uzaklık $6$ birimdir.

Buna göre, $a$ değeri kaçtır?

Cevap: 2

a = 2

Tepe noktası

T(a, -3a+2)

dördüncü bölgede olduğu için

a > 2/3

olmalıdır. Simetri ekseni olan

x = a

doğrusu ile

y = x

doğrusunun kesişim noktası

P(a, a)

olur. İki nokta arasındaki uzaklık

|4a - 2| = 6

denklemini verir. Buradan

a = 2

değeri elde edilir.

Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulmak.

T(a, -3a + 2)

Parabolün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a_{coeff}} = -\frac{-2a}{2} = a

formülüyle bulunur. Ordinatı ise

k = f(a) = a^2 - 2a^2 + a^2 - 3a + 2 = -3a + 2

olarak elde edilir.

Simetri eksenini belirlemek ve kesişim noktasını bulmak.

P(a, a)

Parabolün simetri ekseni

x = r

doğrusudur, yani

x = a

doğrusudur. Bu doğrunun

y = x

doğrusuyla kesişim noktası

P(a, a)

olur.

T ve P noktaları arasındaki uzaklık denklemini yazmak.

|4a - 2| = 6

Apsisleri aynı olan iki nokta arasındaki uzaklık, ordinatlarının farkının mutlak değeridir:

|a - (-3a + 2)| = |4a - 2| = 6

Dördüncü bölge koşulunu uygulayarak a değerini belirlemek.

a = 2

T(a, -3a + 2)

dördüncü bölgede olduğundan apsisi pozitif (

a > 0

), ordinatı negatif (

-3a + 2 < 0 \implies a > 2/3

) olmalıdır.

|4a - 2| = 6

denkleminin çözümlerinden

a = 2

bu koşulu sağlar,

a = -1

ise sağlamaz.

Parabolün tepe noktası koordinatları, simetri ekseni ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık ilişkisi

Soru