Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
a=cos⁡x−sin⁡xb=cot⁡x−csc⁡xc=tan⁡x−sec⁡x\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \cot x - \csc x \\ c &= \tan x - \sec x \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. b < a < cCevap
  2. B
    b < c < a
  3. C
    a < b < c
  4. D
    c < a < b
  5. E
    c < b < a

Cevap

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir.
Doğru sıralama b < a < c şeklindedir. İkinci bölgede kosinüs negatif ve sinüs pozitif olduğundan, a = cos x - sin x farkı negatiftir. c = tan x - sec x ifadesi sadeleştirildiğinde (sin x - 1) / cos x elde edilir; pay ve payda negatif olduğundan c pozitiftir. b = cot x - csc x ifadesi ise (cos x - 1) / sin x olup negatiftir ve a ile kıyaslandığında a'dan daha küçük olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci bölgedeki açıların trigonometrik fonksiyonlarının işaretlerini belirleme.
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığında sinüs pozitif (sin⁡x>0\sin x > 0), kosinüs negatif (cos⁡x<0\cos x < 0), tanjant negatif (tan⁡x<0\tan x < 0), kotanjant negatif (cot⁡x<0\cot x < 0), sekant negatif (sec⁡x<0\sec x < 0) ve kosekant pozitiftir (csc⁡x>0\csc x > 0).
İfadelerin işaretlerini ve değer aralıklarını doğru analiz edebilmek için açı bölgesine göre işaret tayini yapılması gerekir.
2
a, b ve c ifadelerinin işaretlerini ve sadeleşmiş biçimlerini inceleme.
a=cos⁡x−sin⁡xa = \cos x - \sin x ifadesinde; cos⁡x<0\cos x < 0 ve sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan, negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarılmaktadır. Bu yüzden a<0a < 0 olur.

b=cot⁡x−csc⁡x=cos⁡xsin⁡x−1sin⁡x=cos⁡x−1sin⁡xb = \cot x - \csc x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x - 1}{\sin x} ifadesinde; cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan cos⁡x−1<0\cos x - 1 < 0'dır. Payda olan sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan, pay negatif ve payda pozitif olup b<0b < 0 olur.

c=tan⁡x−sec⁡x=sin⁡xcos⁡x−1cos⁡x=sin⁡x−1cos⁡xc = \tan x - \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x - 1}{\cos x} ifadesinde; sin⁡x<1\sin x < 1 olduğundan sin⁡x−1<0\sin x - 1 < 0'dır. Payda olan cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, negatifin negatife bölümünden c>0c > 0 olur.
İfadelerin pozitiflik-negatiflik durumlarını belirleyerek genel bir sıralama çerçevesi çizmek.
3
Negatif olan a ve b değerlerini karşılaştırarak sıralamayı tamamlama.
c>0c > 0 olduğundan en büyük değer c'dir. Negatif olan a ve b değerlerini kıyaslamak için farklarına bakarız:
a−b=(cos⁡x−sin⁡x)−cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡xcos⁡x−sin⁡2x−cos⁡x+1sin⁡xa - b = (\cos x - \sin x) - \frac{\cos x - 1}{\sin x} = \frac{\sin x \cos x - \sin^2 x - \cos x + 1}{\sin x}
Pay kısmını düzenlersek:
sin⁡xcos⁡x+(1−sin⁡2x)−cos⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x−cos⁡x=cos⁡x(sin⁡x+cos⁡x−1)\sin x \cos x + (1 - \sin^2 x) - \cos x = \sin x \cos x + \cos^2 x - \cos x = \cos x (\sin x + \cos x - 1)
İkinci bölgede cos⁡x<0\cos x < 0'dır. Ayrıca sin⁡x<1\sin x < 1 olduğundan sin⁡x−1<0\sin x - 1 < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan bunların toplamı olan sin⁡x+cos⁡x−1<0\sin x + \cos x - 1 < 0 olur. İki negatif ifadenin çarpımı pozitif olduğundan pay kısmı pozitiftir. Payda olan sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan a−b>0a - b > 0 yani a>ba > b elde edilir.
Buna göre doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Her iki ifadenin de negatif olduğu durumda hangisinin sıfıra daha yakın (daha büyük) olduğunu kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve özdeşlikler yardımıyla değer sıralaması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru