Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLimit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, ff fonksiyonu

f(x)={2x+a,x<31,x=3x2−bx+2,x>3f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x < 3 \\ 1, & x = 3 \\ x^2 - bx + 2, & x > 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

lim⁡x→2−f(5−x)=5\lim_{x \to 2^-} f(5 - x) = 5
lim⁡x→4−f(x−1)=8\lim_{x \to 4^-} f(x - 1) = 8

eşitlikleri sağlandığına göre, a+ba + b toplamının değeri kaçtır?
  1. A
    0
  2. B
    1
  3. C
    3
  4. 4Cevap
  5. E
    6

Cevap

Limit yönleri doğru analiz edildiğinde a=2a = 2 ve b=2b = 2 bulunur, bu değerlerin toplamı ise 4'tür.
Limit yönleri doğru analiz edildiğinde; birinci limitte 5−x5 - x ifadesinin 3'e sağdan yaklaştığı görülür ve fonksiyonun x>3x > 3 kuralı kullanılarak b=2b = 2 değeri elde edilir. İkinci limitte x−1x - 1 ifadesinin 3'e soldan yaklaştığı görülür ve fonksiyonun x<3x < 3 kuralı kullanılarak a=2a = 2 değeri elde edilir. Bu iki değerin toplamı 2+2=42 + 2 = 4 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci limit ifadesini analiz etme
x→2−x \to 2^- iken 5−x→3+5 - x \to 3^+ olur.
xx değişkeni 2'ye soldan yaklaşırken x<2x < 2 olur. Buradan −x>−2-x > -2 ve 5−x>35 - x > 3 elde edilir. Dolayısıyla 5−x5 - x ifadesi 3'e sağdan yaklaşır.
2
Birinci limit değerini kullanarak b parametresini bulma
b=2b = 2
lim⁡x→2−f(5−x)=lim⁡t→3+f(t)\lim_{x \to 2^-} f(5 - x) = \lim_{t \to 3^+} f(t) olur. t>3t > 3 için tanımlı olan t2−bt+2t^2 - bt + 2 kuralı kullanılır. lim⁡t→3+(t2−bt+2)=32−3b+2=11−3b\lim_{t \to 3^+} (t^2 - bt + 2) = 3^2 - 3b + 2 = 11 - 3b olur. Bu değer 5'e eşit olduğundan 11−3b=5  ⟹  3b=6  ⟹  b=211 - 3b = 5 \implies 3b = 6 \implies b = 2 bulunur.
3
İkinci limit ifadesini analiz etme
x→4−x \to 4^- iken x−1→3−x - 1 \to 3^- olur.
xx değişkeni 4'e soldan yaklaşırken x<4x < 4 olur. Buradan x−1<3x - 1 < 3 elde edilir. Dolayısıyla x−1x - 1 ifadesi 3'e soldan yaklaşır.
4
İkinci limit değerini kullanarak a parametresini bulma
a=2a = 2
lim⁡x→4−f(x−1)=lim⁡t→3−f(t)\lim_{x \to 4^-} f(x - 1) = \lim_{t \to 3^-} f(t) olur. t<3t < 3 için tanımlı olan 2t+a2t + a kuralı kullanılır. lim⁡t→3−(2t+a)=2(3)+a=6+a\lim_{t \to 3^-} (2t + a) = 2(3) + a = 6 + a olur. Bu değer 8'e eşit olduğundan 6+a=8  ⟹  a=26 + a = 8 \implies a = 2 bulunur.
5
İstenen toplam değerini hesaplama
a+b=4a + b = 4
Bulunan a=2a = 2 ve b=2b = 2 değerleri toplanır: 2+2=42 + 2 = 4 elde edilir.

Anahtar Kavram

Bileşke ve ötelenmiş fonksiyonlarda sağdan ve soldan limit hesaplanırken yaklaşım yönünün belirlenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Limit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

Bu konudan daha fazla soru