Examkin

Soru

Zorluk: KolayLimit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)
f(x)={4−x,x<3x2−5,x≥3f(x) = \begin{cases} 4 - x, & x < 3 \\ x^2 - 5, & x \geq 3 \end{cases}

biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için,

lim⁡x→1+f(4−x)\lim_{x \to 1^+} f(4 - x)

limitinin değeri kaçtır?

  1. 1Cevap
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

Limit değeri 1'dir.
Limit değişkeni 11 değerine sağdan yaklaşırken x>1x > 1 olur. Buradan −x<−1-x < -1 ve 4−x<34 - x < 3 bulunur. Yani, limit 33 değerine soldan yaklaşmaktadır. Fonksiyonun 33 değerinden küçük sayılar için kuralı 4−x4 - x olduğundan, limit değeri 4−3=14 - 3 = 1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Limit değişkeninin yaklaşım yönünü belirleme
x→1+x \to 1^+ iken x>1x > 1 olur. Eşitsizliği −1-1 ile çarparsak −x<−1-x < -1 elde edilir. Her iki tarafa 44 eklediğimizde 4−x<34 - x < 3 elde edilir. Bu durum, 4−x4 - x ifadesinin 33 değerine soldan yaklaştığını (4−x→3−4 - x \to 3^-) gösterir.
Bileşke ve dönüşüm içeren limitlerde içteki ifadenin limit noktasına hangi yönden yaklaştığını doğru tespit etmek gerekir.
2
Fonksiyonun parçalı tanımından uygun kuralı seçme
t=4−xt = 4 - x dönüşümü yapıldığında limit lim⁡t→3−f(t)\lim_{t \to 3^-} f(t) haline gelir. Tanıma göre t<3t < 3 için fonksiyon kuralı f(t)=4−tf(t) = 4 - t biçimindedir.
Soldan yaklaşımda (t→3−t \to 3^-) değişken değerleri 33 noktasından küçük olduğundan t<3t < 3 aralığına ait fonksiyon parçası seçilmelidir.
3
Limit değerini hesaplama
lim⁡t→3−(4−t)=4−3=1\lim_{t \to 3^-} (4 - t) = 4 - 3 = 1 bulunur.
Seçilen sürekli fonksiyonda tt yerine limit değeri olan 33 yazılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Sağdan ve soldan limit kavramı ile değişken dönüşümü yardımıyla limit hesaplama
Bu soruyu puanla

Konular

Limit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

Bu konudan daha fazla soru