Examkin

Soru

Zorluk: KolayLimit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)
f(x)={3x−1,x<22x+3,x≥2f(x) = \begin{cases} 3x - 1, & x < 2 \\ 2x + 3, & x \geq 2 \end{cases} biçiminde tanımlanan ff fonksiyonu için, lim⁡x→3−f(x−1)\lim_{x \to 3^-} f(x - 1) limitinin değeri kaçtır?
  1. 5Cevap
  2. B
    7
  3. C
    8
  4. D
    9
  5. E
    11

Cevap

5
Limit hesaplanırken x→3−x \to 3^- yönelimi için x<3x < 3 olur. Buradan x−1<2x - 1 < 2 elde edilir. Bu durum, t=x−1t = x - 1 değişkeninin 22 değerine soldan yaklaştığını (t→2−t \to 2^-) gösterir. Parçalı fonksiyonda x<2x < 2 için tanımlı olan 3x−13x - 1 kuralı kullanılarak limit değeri 3(2)−1=53(2) - 1 = 5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Limitte değişken değiştirme işlemi yapmak için t=x−1t = x - 1 dönüşümü uygulanır.
x→3−x \to 3^- iken tt değişkeninin hangi değere yaklaştığı araştırılır.
Ötelenmiş fonksiyonların limitini hesaplarken yaklaşım yönünü doğru belirlemek gerekir.
2
xx değişkeni 33'e soldan yaklaştığı için x<3x < 3 eşitsizliği yazılır ve her iki taraftan 11 çıkarılır.
x−1<2x - 1 < 2 elde edilir, yani t→2−t \to 2^- olur.
Yaklaşım y��nünü belirlemek için eşitsizlik kurallarından yararlanılır.
3
t→2−t \to 2^- limiti parçalı fonksiyonda yerine yazılır. t<2t < 2 olduğu için f(t)=3t−1f(t) = 3t - 1 kuralı seçilir.
lim⁡t→2−(3t−1)=3(2)−1=5\lim_{t \to 2^-} (3t - 1) = 3(2) - 1 = 5 olarak bulunur.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda limit hesaplanırken kritik noktaya hangi yönden yaklaşıldığına göre ilgili fonksiyon dalı seçilir.

Anahtar Kavram

Sağdan ve soldan limit kavramı ile ötelenmiş fonksiyonlarda limit hesabı.
Bu soruyu puanla

Konular

Limit ve Yaklaşım Kavramı (Sağdan ve Soldan Limit)

Bu konudan daha fazla soru