Her x gerçel sayısı için bir f fonksiyonu, * x < 2 ise f(x) = 3x + 1 * x \geq 2 ise f(x) =… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Her $x$ gerçel sayısı için bir $f$ fonksiyonu,

* $x < 2$ ise $f(x) = 3x + 1$
* $x \geq 2$ ise $f(x) = 2x + k$

biçiminde tanımlanıyor.

\lim_{x \to 1} f(x + 1)

limitinin bir gerçel sayı değeri olduğu bilindiğine göre, $k$ gerçel sayısı kaçtır?

A
1
B
2
3Cevap
D
4
E
5

Cevap

Limit değerinin bir gerçel sayıya eşit olması için fonksiyonun limit noktasındaki sağ ve sol limitleri birbirine eşit olmalıdır. Buradan k değeri 3 olarak bulunur.

Limit değişkeni olan x değeri bir sayısına yaklaşırken, fonksiyonun içerisindeki x + 1 ifadesi iki değerine yaklaşır. Dolayısıyla soruda verilen limit aslında fonksiyonun iki noktasındaki limitidir. Bu limitin var olması için fonksiyonun iki noktasındaki sağ ve sol limitlerinin eşit olması gerekir. İki noktasındaki sol limit yedi, sağ limit ise dört artı k değerini alır. Bu değerler eşitlendiğinde k sayısı üç olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Limit değişkeninin yaklaşım noktasını belirleme

x \to 1

iken

x + 1 \to 2

olur.

Fonksiyonun limitini hesaplamak için limit değişkeni yerine yazılıp yaklaşım noktası belirlenir.

Sağdan ve soldan limitleri yazma

Sol limit:

\lim_{t \to 2^-} f(t) = 3(2) + 1 = 7

. Sağ limit:

\lim_{t \to 2^+} f(t) = 2(2) + k = 4 + k

Bir noktada limitin var olması için sağ ve sol limitlerin ayrı ayrı hesaplanması gerekir.

Sağ ve sol limit değerlerini eşitleme

7 = 4 + k denkleminden k = 3 elde edilir.

Limitin var olabilmesi için sağ ve sol limit değerlerinin birbirine eşit olması şarttır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun bir noktada limitinin olması için o noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru