Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorArtan ve Azalan Fonksiyonlar

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu artan, gg fonksiyonu ise azalan bir fonksiyondur.

Her xx gerçel sayısı için
f(x2−3x−10)<f(2x+4)f(x^2 - 3x - 10) < f(2x + 4)
ve
g(x2−a)<g(12)g(x^2 - a) < g(12)
eşitsizlikleri veriliyor.

Bu iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan xx gerçel sayılarının en geniş kümesi (3,7)(3, 7) açık aralığı olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevap: -3

Cevap

Aranan gerçel sayı değeri -3 olarak bulunur.
Artan fonksiyonlarda eşitsizlik yön korurken, azalan fonksiyonlarda eşitsizlik yön değiştirir. Elde edilen iki eşitsizlik sisteminin en geniş ortak çözüm aralığı incelendiğinde, sol taraftaki negatif aralığın boş küme kalması için sınır şartı sağlanmalı, sağ taraftaki pozitif aralığın alt sınırı ise 3 olmalıdır. Bu analizler sonucunda a+12=9a + 12 = 9 denklemi kurularak a=−3a = -3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Artan fonksiyon tanımını kullanarak birinci eşitsizliği sadeleştirmek
x2−3x−10<2x+4  ⟹  x2−5x−14<0  ⟹  x∈(−2,7)x^2 - 3x - 10 < 2x + 4 \implies x^2 - 5x - 14 < 0 \implies x \in (-2, 7)
Artan fonksiyonlarda girdiler ile çıktılar arasındaki sıralama yön değiştirmez.
2
Azalan fonksiyon tanımını kullanarak ikinci eşitsizliği sadeleştirmek
x2−a>12  ⟹  x2>a+12x^2 - a > 12 \implies x^2 > a + 12. C=a+12>0C = a + 12 > 0 için çözüm kümesi I2=(−∞,−C)∪(C,∞)I_2 = (-\infty, -\sqrt{C}) \cup (\sqrt{C}, \infty)
Azalan fonksiyonlarda girdiler ile çıktılar arasındaki sıralama yön değiştirir.
3
İki çözüm kümesinin kesişimini analiz etmek
Kesişim kümesi: ((−2,−C)∪(C,7))((-2, -\sqrt{C}) \cup (\sqrt{C}, 7))
En geniş ortak çözüm kümesinin (3,7)(3, 7) aralığına eşit olması şartını incelemek için kesişim alt aralıkları belirlenir.
4
Kesişim kümesini (3,7)(3, 7) aralığına eşitleyerek sınır değerlerini bulmak
C=9C = 9 değeri C≥4C \ge 4 şartını sağlar.
Sol taraftaki aralığın boş küme olması için −C≤−2  ⟹  C≥4-\sqrt{C} \le -2 \implies C \ge 4 olmalı, sağ taraftaki aralığın başlangıç sınırının 3 olması için ise C=3  ⟹  C=9\sqrt{C} = 3 \implies C = 9 olmalıdır.
5
Bilinmeyen aa parametresini hesaplamak
a+12=9  ⟹  a=−3a + 12 = 9 \implies a = -3
Tanımladığımız CC değişkeninin değerini yerine yazarak aa parametresine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Artan ve Azalan Fonksiyonların Tanımı ve Eşitsizlik Çözümleriyle İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Bu konudan daha fazla soru