Examkin

Artan ve Azalan Fonksiyonlar

13 soru

Tüm türler13Çoktan seçmeli7Sayısal6
Soru 1Soru →
Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu
f(x)=14x4−x3+5f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5
kuralı ile veriliyor.

Buna göre, ff fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,3](-\infty, 3]

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] aral��ğıdır.
Fonksiyonun türevi f′(x)=x2(x−3)f'(x) = x^2(x-3) şeklindedir. Türevin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıkta fonksiyon azalandır. Her gerçek xx için x2≥0x^2 \geq 0 olduğundan, x2(x−3)≤0x^2(x-3) \leq 0 eşitsizliğinin sağlanması için x−3≤0x-3 \leq 0 olmalıdır. Buradan x≤3x \leq 3 elde edilir. Bu durum bizi (−∞,3](-\infty, 3] aralığına ulaştırır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f(x)=14x4−x3+5f(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 5 fonksiyonunun türevi alınır.
f′(x)=x3−3x2f'(x) = x^3 - 3x^2 elde edilir.
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları belirlemek için türevinin işareti incelenmelidir.
2
Türev fonksiyonunun kökleri bulunur.
f′(x)=x2(x−3)=0f'(x) = x^2(x - 3) = 0 denkleminden x=0x = 0 (çift katlı kök) ve x=3x = 3 (tek katlı kök) elde edilir.
İşaret tablosu oluşturmak için türevin sıfır olduğu noktalar (kritik noktalar) belirlenmelidir.
3
Türev fonksiyonu için işaret tablosu oluşturulur.
x>3x > 3 için f′(x)>0f'(x) > 0 (+), 0<x<30 < x < 3 için f′(x)<0f'(x) < 0 (-) ve x<0x < 0 için f′(x)<0f'(x) < 0 (-) olur.
x=0x = 0 noktası çift katlı kök olduğundan bu noktadan geçerken türevin işareti değişmez.
4
Türevin negatif veya sıfır olduğu (f′(x)≤0f'(x) \leq 0) aralık belirlenir.
x∈(−∞,3]x \in (-\infty, 3] aralığında f′(x)≤0f'(x) \leq 0 olur.
Türevin negatif veya sıfır olduğu aralıkta fonksiyon azalandır.

Anahtar Kavram

Türev yardımıyla bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkların belirlenmesi ve çift katlı köklerde işaret incelemesi.
Soru 2Soru →

Tanım kümesi gerçel sayılar olan f(x)=∣x−3∣−∣x+5∣f(x) = |x - 3| - |x + 5| fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -9

Cevap

Fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralıktaki tam sayıların toplamı -9'dur.
Fonksiyonun kuralları parçalı olarak incelendiğinde, yalnızca [−5,3][-5, 3] aralığında negatif eğimli doğrusal bir fonksiyon (f(x)=−2x−2f(x) = -2x - 2) elde edilir. Dolayısıyla azalan olduğu en geniş aralık [−5,3][-5, 3] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı −9-9 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Kritik noktaları belirleme
x=−5x = -5 ve x=3x = 3 kritik noktalardır.
Mutlak değerlerin içerisini sıfır yapan noktalar fonksiyonun davranışının değiştiği sınırları belirler.
2
Aralıklara göre fonksiyon kurallarını bulma
x<−5x < -5 için f(x)=8f(x) = 8, −5≤x≤3-5 \le x \le 3 için f(x)=−2x−2f(x) = -2x - 2 ve x>3x > 3 için f(x)=−8f(x) = -8 olur.
Fonksiyonun artan veya azalan olduğu bölgeleri belirlemek için her alt aralıktaki cebirsel ifadesi elde edilmelidir.
3
Artan/azalanlık incelemesi yapma
Fonksiyon yalnızca [−5,3][-5, 3] aralığında azalandır.
−5≤x≤3-5 \le x \le 3 aralığında fonksiyonun kuralı f(x)=−2x−2f(x) = -2x - 2 olan negatif eğimli bir doğrudur ve bu aralıkta azalan davranışı gösterir. Diğer aralıklarda fonksiyon sabit olduğundan artan veya azalan değildir.
4
Tam sayıların toplamını hesaplama
−5+(−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0+1+2+3=−9-5 + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = -9
Azalan olunan [−5,3][-5, 3] kapalı aralığındaki tüm tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki bir aralıkta x1<x2x_1 < x_2 iken f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) oluyorsa fonksiyon o aralıkta azalandır. Doğrusal fonksiyonlarda eğim negatif ise fonksiyon azalandır.
Soru 3Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

f(x)=(3−m)x+5f(x) = (3 - m)x + 5

fonksiyonu azalan bir fonksiyondur.

Buna göre, mm parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (3,∞)(3, \infty)

Cevap

m parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı (3,∞)(3, \infty) açık aralığıdır.
Birinci dereceden f(x)=ax+bf(x) = ax + b biçimindeki bir fonksiyonun tüm gerçek sayılar kümesinde azalan olması için eğiminin negatif, yani a<0a < 0 olması gerekir. Verilen f(x)=(3−m)x+5f(x) = (3 - m)x + 5 fonksiyonunda xx'in katsayısı 3−m3 - m olduğuna göre 3−m<03 - m < 0 eşitsizliği sağlanmalıdır. Bu eşitsizlik çözüldüğünde m>3m > 3 bulunur. Bu durum, mm parametresinin (3,∞)(3, \infty) açık aralığında değerler alması gerektiğini gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun azalanlık şartını belirlemek.
Birinci dereceden f(x)=ax+bf(x) = ax + b fonksiyonunun azalan olması için eğiminin negatif (a<0a < 0) olması gerekir.
Doğrusal fonksiyonlarda fonksiyon değerlerinin sürekli azalması için eğimin negatif olması zorunludur.
2
xx'in katsayısı olan 3−m3 - m ifadesini sıfırdan küçük yapan eşitsizliği kurmak.
3−m<03 - m < 0 eşitsizliği elde edilir.
f(x)=(3−m)x+5f(x) = (3 - m)x + 5 fonksiyonunda eğim 3−m3 - m değeridir.
3
Eşitsizliği çözerek mm parametresinin aralığını bulmak.
m>3m > 3 bulunur. Bu aralık (3,∞)(3, \infty) şeklinde gösterilir.
Eşitsizliğin her iki tarafına mm eklenerek 3<m3 < m elde edilir, bu da m>3m > 3 demektir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden fonksiyonların eğimlerine göre artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 4Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ve g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonları her xx gerçel sayısı için sırasıyla f(x)>0f(x) > 0 ve g(x)<0g(x) < 0 eşitsizliklerini sağlamaktadır.

ff fonksiyonu daima artan ve gg fonksiyonu daima azalan olduğuna göre,

I. u(x)=f(x)⋅g(x)u(x) = f(x) \cdot g(x)
II. v(x)=1g(x)−f(x)v(x) = \frac{1}{g(x) - f(x)}
III. w(x)=(g∘f)(x)+g(x)w(x) = (g \circ f)(x) + g(x)

fonksiyonlarından hangileri R\mathbb{R} üzerinde daima azalan bir fonksiyondur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III ifadelerinde verilen fonksiyonlar daima azalandır.
I ve III ifadelerinde verilen fonksiyonlar daima azalandır. Çarpım fonksiyonunda çarpanların işaretleri ve monotonluk yönleri çarpımın azalan olmasını sağlarken, bileşke ve toplam fonksiyonunda iki azalan fonksiyonun toplamı her zaman azalanlık özelliğini korur.

Adım Adım Çözüm

1
I. öncüldeki u(x)=f(x)⋅g(x)u(x) = f(x) \cdot g(x) fonksiyonunun monotonluğunu incelemek için tanım kümesinden x1<x2x_1 < x_2 elemanlarını seçelim.
ff fonksiyonu pozitif değerli ve daima artan olduğundan 0<f(x1)<f(x2)0 < f(x_1) < f(x_2) olur. gg fonksiyonu negatif değerli ve daima azalan olduğundan g(x1)>g(x2)g(x_1) > g(x_2) yani −g(x2)>−g(x1)>0-g(x_2) > -g(x_1) > 0 olur. Pozitif terimli eşitsizliklerin taraf tarafa çarpımından f(x1)⋅[−g(x1)]<f(x2)⋅[−g(x2)]⇒f(x1)g(x1)>f(x2)g(x2)f(x_1) \cdot [-g(x_1)] < f(x_2) \cdot [-g(x_2)] \Rightarrow f(x_1)g(x_1) > f(x_2)g(x_2) elde edilir.
Eşitsizlik u(x1)>u(x2)u(x_1) > u(x_2) haline geldiği için uu fonksiyonu daima azalandır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.
2
II. öncüldeki v(x)=1g(x)−f(x)v(x) = \frac{1}{g(x) - f(x)} fonksiyonunun paydasındaki ifadenin ve tüm ifadenin monotonluğunu inceleyelim.
g(x)g(x) daima azalan ve −f(x)-f(x) daima azalan olduğundan, bunların toplamı olan y(x)=g(x)−f(x)y(x) = g(x) - f(x) daima azalandır. Ayrıca g(x)<0g(x) < 0 ve f(x)>0f(x) > 0 olduğundan y(x)<0y(x) < 0 (negatif değerli) olur. Negatif değerli ve azalan bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi olan v(x)=1y(x)v(x) = \frac{1}{y(x)} fonksiyonu için x1<x2x_1 < x_2 alındığında 0>y(x1)>y(x2)⇒1y(x1)<1y(x2)0 > y(x_1) > y(x_2) \Rightarrow \frac{1}{y(x_1)} < \frac{1}{y(x_2)} elde edilir.
v(x1)<v(x2)v(x_1) < v(x_2) olduğundan vv fonksiyonu daima artandır, azalan değildir. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.
3
III. öncüldeki w(x)=(g∘f)(x)+g(x)w(x) = (g \circ f)(x) + g(x) fonksiyonunu oluşturan bileşenlerin monotonluğunu inceleyelim.
ff artan ve gg azalan olduğundan, bileşke fonksiyon (g∘f)(x)(g \circ f)(x) daima azalandır. g(x)g(x) fonksiyonu da daima azalan olarak verilmiştir. İki azalan fonksiyonun toplamı olan w(x)=(g∘f)(x)+g(x)w(x) = (g \circ f)(x) + g(x) da daima azalan bir fonksiyon olur.
İki azalan fonksiyonun toplamı her zaman azalan olduğundan ww fonksiyonu daima azalandır. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Artan ve azalan fonksiyonların tanımı, fonksiyon bileşkesinin monotonluğu ve işaret durumlarına göre fonksiyon işlemlerinin monotonluk üzerindeki etkileri.
Soru 5Soru →
f:[a,∞)→Rf: [a, \infty) \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=x2−10x+24f(x) = x^2 - 10x + 24
fonksiyonu tanımlı olduğu aralıkta artandır.
Buna göre, aa gerçek sayısının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

a gerçek sayısının alabileceği en küçük değer 5'tir.
Fonksiyonun tepe noktasının apsisi 5'tir ve kolları yukarı doğru olan bu parabol 5'ten büyük veya eşit xx değerleri için artandır. Tanımlanan [a,∞)[a, \infty) aralığında fonksiyonun artan kalması için aa değeri 5'ten küçük olamaz, bu nedenle en küçük değeri 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tepe noktasının apsisini (rr) hesaplama
r=5r = 5
İkinci dereceden bir fonksiyonun artanlıktan azalanlığa veya azalanl��ktan artanlığa geçtiği sınır noktası tepe noktasıdır.
2
Artan olduğu en geniş aralığı belirleme
[5,∞)[5, \infty) aralığı
x2x^2 teriminin katsayısı pozitif olduğundan parabolün kolları yukarı doğrudur ve tepe noktasından itibaren artan olur.
3
Verilen tanım kümesi ile artanlık aralığını karşılaştırma
a≥5a \ge 5 ve en küçük a=5a = 5
[a,∞)[a, \infty) kümesinin tamamen artanlık aralığı olan [5,∞)[5, \infty) içinde kalması gerekir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) artan olduğu en geniş aralık, başkatsayısı pozitif ise [r,∞)[r, \infty) aralığıdır.
Soru 6Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her x∈Rx \in \mathbb{R} için pozitif değerli olan ff fonksiyonu azalandır.

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve her x∈Rx \in \mathbb{R} için negatif değerli olan gg fonksiyonu artandır.

Buna göre,

I. (f⋅g)(x)(f \cdot g)(x)
II. (f∘g)(x)(f \circ g)(x)
III. (g−f)(x)(g - f)(x)

ifadelerinden hangileri gerçel sayılar kümesi üzerinde her zaman artandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

I ve III
Verilen koşullarda, x1<x2x_1 < x_2 iken f(x1)>f(x2)>0f(x_1) > f(x_2) > 0 ve g(x1)<g(x2)<0g(x_1) < g(x_2) < 0 olur. Çarpım fonksiyonunun farkı (f⋅g)(x2)−(f⋅g)(x1)=f(x2)[g(x2)−g(x1)]+g(x1)[f(x2)−f(x1)](f \cdot g)(x_2) - (f \cdot g)(x_1) = f(x_2)[g(x_2) - g(x_1)] + g(x_1)[f(x_2) - f(x_1)] şeklinde yazıldığında her iki terim de pozitif olacağından sonuç pozitif çıkar ve fonksiyon artandır. Benzer şekilde, gg fonksiyonu artan, −f-f fonksiyonu da artan olduğundan toplamları olan g−fg - f fonksiyonu da her zaman artandır. Dolayısıyla I ve III ifadeleri her zaman artandır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen fonksiyon özelliklerini matematiksel eşitsizliklerle tanımlamak.
x1<x2x_1 < x_2 için f(x1)>f(x2)>0f(x_1) > f(x_2) > 0 (çünkü ff pozitif değerli ve azalan) ve g(x1)<g(x2)<0g(x_1) < g(x_2) < 0 (çünkü gg negatif değerli ve artan) eşitsizlikleri elde edilir.
Fonksiyonların artanlık, azalanlık ve işaret özelliklerini analiz edebilmek için temel tanımları kurmak gerekir.
2
Birinci öncüldeki (f⋅g)(x)(f \cdot g)(x) ifadesinin artanlığını incelemek.
(f⋅g)(x2)−(f⋅g)(x1)=f(x2)g(x2)−f(x1)g(x1)(f \cdot g)(x_2) - (f \cdot g)(x_1) = f(x_2)g(x_2) - f(x_1)g(x_1) farkın�� f(x2)[g(x2)−g(x1)]+g(x1)[f(x2)−f(x1)]f(x_2)[g(x_2) - g(x_1)] + g(x_1)[f(x_2) - f(x_1)] şeklinde yazalım. Burada f(x2)>0f(x_2) > 0 ve g(x2)−g(x1)>0g(x_2) - g(x_1) > 0 olduğundan birinci terim pozitiftir. g(x1)<0g(x_1) < 0 ve f(x2)−f(x1)<0f(x_2) - f(x_1) < 0 olduğundan ikinci terim de iki negatif sayının çarpımı olarak pozitiftir. İki pozitif ifadenin toplamı pozitif olacağından (f⋅g)(x2)>(f⋅g)(x1)(f \cdot g)(x_2) > (f \cdot g)(x_1) elde edilir. Dolayısıyla ��arpım fonksiyonu her zaman artandır.
Çarpım fonksiyonunun artan olup olmadığını artanlık tanımını kullanarak cebirsel olarak kanıtlamak amacıyla bu adım uygulanır.
3
İkinci öncüldeki bileşke fonksiyon (f∘g)(x)(f \circ g)(x) ifadesinin artanlığını incelemek.
x1<x2x_1 < x_2 iken gg artan olduğu için g(x1)<g(x2)g(x_1) < g(x_2) olur. ff fonksiyonu azalan olduğundan, bu eşitsizliğin her iki tarafına ff uygulandığında eşitsizlik yön de��iştirir: f(g(x1))>f(g(x2))f(g(x_1)) > f(g(x_2)). Bu durum, bileşke fonksiyonun azalan olduğunu gösterir. Dolayısıyla bu öncül her zaman artan değildir.
Bileşke fonksiyonların artanlık/azalanlık özelliklerini belirlerken içteki ve dıştaki fonksiyonların yön değiştirme durumlarını incelemek gerekir.
4
Üçüncü öncüldeki (g−f)(x)(g - f)(x) fark fonksiyonunun artanlığını incelemek.
x1<x2x_1 < x_2 için g(x1)<g(x2)g(x_1) < g(x_2) dir. Ayrıca f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) olduğundan, her iki tarafı −1-1 ile çarpt��ğımızda −f(x1)<−f(x2)-f(x_1) < -f(x_2) elde edilir. Bu iki eşitsizliği taraf tarafa toplarsak g(x1)−f(x1)<g(x2)−f(x2)g(x_1) - f(x_1) < g(x_2) - f(x_2) elde edilir. Bu da (g−f)(x)(g - f)(x) fonksiyonunun her zaman artan olduğunu gösterir.
İki fonksiyonun farkının büyüme eğilimini belirlemek için her birinin değişim yönünü toplanabilir eşitsizlikler haline getirmek gerekir.

Anahtar Kavram

Artan ve azalan fonksiyonların cebirsel özellikleri, bileşke ve aritmetik işlemler altındaki davranışları.
Soru 7Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu artan, gg fonksiyonu ise azalan bir fonksiyondur.

Her xx gerçel sayısı için
f(x2−3x−10)<f(2x+4)f(x^2 - 3x - 10) < f(2x + 4)
ve
g(x2−a)<g(12)g(x^2 - a) < g(12)
eşitsizlikleri veriliyor.

Bu iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan xx gerçel sayılarının en geniş kümesi (3,7)(3, 7) açık aralığı olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Aranan gerçel sayı değeri -3 olarak bulunur.
Artan fonksiyonlarda eşitsizlik yön korurken, azalan fonksiyonlarda eşitsizlik yön değiştirir. Elde edilen iki eşitsizlik sisteminin en geniş ortak çözüm aralığı incelendiğinde, sol taraftaki negatif aralığın boş küme kalması için sınır şartı sağlanmalı, sağ taraftaki pozitif aralığın alt sınırı ise 3 olmalıdır. Bu analizler sonucunda a+12=9a + 12 = 9 denklemi kurularak a=−3a = -3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Artan fonksiyon tanımını kullanarak birinci eşitsizliği sadeleştirmek
x2−3x−10<2x+4  ⟹  x2−5x−14<0  ⟹  x∈(−2,7)x^2 - 3x - 10 < 2x + 4 \implies x^2 - 5x - 14 < 0 \implies x \in (-2, 7)
Artan fonksiyonlarda girdiler ile çıktılar arasındaki sıralama yön değiştirmez.
2
Azalan fonksiyon tanımını kullanarak ikinci eşitsizliği sadeleştirmek
x2−a>12  ⟹  x2>a+12x^2 - a > 12 \implies x^2 > a + 12. C=a+12>0C = a + 12 > 0 için çözüm kümesi I2=(−∞,−C)∪(C,∞)I_2 = (-\infty, -\sqrt{C}) \cup (\sqrt{C}, \infty)
Azalan fonksiyonlarda girdiler ile çıktılar arasındaki sıralama yön değiştirir.
3
İki çözüm kümesinin kesişimini analiz etmek
Kesişim kümesi: ((−2,−C)∪(C,7))((-2, -\sqrt{C}) \cup (\sqrt{C}, 7))
En geniş ortak çözüm kümesinin (3,7)(3, 7) aralığına eşit olması şartını incelemek için kesişim alt aralıkları belirlenir.
4
Kesişim kümesini (3,7)(3, 7) aralığına eşitleyerek sınır değerlerini bulmak
C=9C = 9 değeri C≥4C \ge 4 şartını sağlar.
Sol taraftaki aralığın boş küme olması için −C≤−2  ⟹  C≥4-\sqrt{C} \le -2 \implies C \ge 4 olmalı, sağ taraftaki aralığın başlangıç sınırının 3 olması için ise C=3  ⟹  C=9\sqrt{C} = 3 \implies C = 9 olmalıdır.
5
Bilinmeyen aa parametresini hesaplamak
a+12=9  ⟹  a=−3a + 12 = 9 \implies a = -3
Tanımladığımız CC değişkeninin değerini yerine yazarak aa parametresine ulaşırız.

Anahtar Kavram

Artan ve Azalan Fonksiyonların Tanımı ve Eşitsizlik Çözümleriyle İlişkisi
Soru 8Soru →
f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
f(x)=x2−2(k−2)x+5f(x) = x^2 - 2(k - 2)x + 5
fonksiyonu [3,∞)[3, \infty) aralığında artandır.
g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,
g(x)=(k−7)x2+4x−3g(x) = (k - 7)x^2 + 4x - 3
fonksiyonu (−∞,1](-\infty, 1] aralığında artandır.

Buna göre, kk gerçek sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

k gerçek sayısı 5'tir.
Verilen f(x)f(x) ve g(x)g(x) fonksiyonlarının sırasıyla [3,∞)[3, \infty) ve (−∞,1](-\infty, 1] aralıklarında artan olabilmesi için parabollerin tepe noktaları ve yönleri analiz edilmelidir. f(x)f(x)'in baş katsayısı pozitif olduğundan tepe noktasının sağında artandır; bu durum k−2≤3  ⟹  k≤5k-2 \le 3 \implies k \le 5 olmasını gerektirir. g(x)g(x)'in sol yarıda artan olabilmesi için kollarının aşağı doğru olması gerekir, bu da k<7k < 7 demektir. Bu durumda g(x)g(x) tepe noktasının solunda artan olup, rg≥1  ⟹  27−k≥1  ⟹  k≥5r_g \ge 1 \implies \frac{2}{7-k} \ge 1 \implies k \ge 5 elde edilir. Her iki koşulu da sağlayan yegane değer k=5k = 5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)f(x) fonksiyonunun artanlık aralığından kk için bir sınır bulunması.
k≤5k \le 5
f(x)=x2−2(k−2)x+5f(x) = x^2 - 2(k-2)x + 5 parabolünün baş katsayısı pozitif olduğundan kolları yukarı doğrudur. Parabolün tepe noktası rf=k−2r_f = k-2 olup, [rf,∞)[r_f, \infty) aralığında artandır. [3,∞)[3, \infty) aralığında artan olması için [3,∞)⊆[k−2,∞)[3, \infty) \subseteq [k-2, \infty) olmalıdır, bu da k−2≤3  ⟹  k≤5k-2 \le 3 \implies k \le 5 koşulunu getirir.
2
g(x)g(x) fonksiyonunun yönünün (kollarının yönünün) belirlenmesi.
k<7k < 7
g(x)g(x) parabolünün (−∞,1](-\infty, 1] aralığında artan olması istenmektedir. Eğer parabolün kolları yukarı doğru olsaydı (k>7k > 7), artan olduğu aralık [rg,∞)[r_g, \infty) şeklinde sağdan sınırsız olurdu ve (−∞,1](-\infty, 1] aralığında artan olamazdı. Bu yüzden kollar aşağı doğru olmalıdır, yani k−7<0  ⟹  k<7k - 7 < 0 \implies k < 7 olmalıdır.
3
g(x)g(x) fonksiyonunun tepe noktasından kk için alt sınır bulunması.
k≥5k \ge 5
Kolları aşağı doğru olan g(x)=(k−7)x2+4x−3g(x) = (k-7)x^2 + 4x - 3 parabolü tepe noktası rg=−42(k−7)=27−kr_g = -\frac{4}{2(k-7)} = \frac{2}{7-k} olmak üzere (−∞,rg](-\infty, r_g] aralığında artandır. (−∞,1](-\infty, 1] aralığında artan olması için (−∞,1]⊆(−∞,rg](-\infty, 1] \subseteq (-\infty, r_g] olmalıdır, bu da rg≥1  ⟹  27−k≥1r_g \ge 1 \implies \frac{2}{7-k} \ge 1 eşitsizliğini verir. k<7k < 7 olduğundan 7−k>07-k > 0 olup, eşitsizliği 2≥7−k  ⟹  k≥52 \ge 7-k \implies k \ge 5 olarak çözebiliriz.
4
Elde edilen eşitsizliklerin kesiştirilmesi.
k=5k = 5
f(x)f(x)'in artanlık koşulundan k≤5k \le 5, g(x)g(x)'in artanlık koşulundan ise 5≤k<75 \le k < 7 elde edilmiştir. Bu iki koşulu aynı anda sağlayan tek gerçek sayı değeri k=5k = 5'tir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların (parabollerin) artan ve azalan oldukları aralıklar, tepe noktasının apsisi (r=−b/2ar = -b/2a) ve baş katsayının işareti kullanılarak belirlenir.
Soru 9Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff ve gg fonksiyonları için,

* ff fonksiyonu pozitif değerli ve azalandır.
* gg fonksiyonu negatif değerli ve artandır.

bilgileri veriliyor.

Buna göre, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi daima artandır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)

Cevap

Çarpım fonksiyonu olan f(x)⋅g(x)f(x) \cdot g(x)
Çarpım fonksiyonu incelendiğinde, x1<x2x_1 < x_2 için f(x1)>f(x2)>0f(x_1) > f(x_2) > 0 ve g(x1)<g(x2)<0g(x_1) < g(x_2) < 0 özellikleri kullanılarak yapılan eşitsizlik işlemlerinde (f⋅g)(x1)<(f⋅g)(x2)(f \cdot g)(x_1) < (f \cdot g)(x_2) sonucuna kesin olarak ulaşılır. Bu durum, çarpım fonksiyonunun daima artan olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlardan yola çıkarak x1<x2x_1 < x_2 için fonksiyonların değer aralıklarını ve yönlerini belirleme.
f(x1)>f(x2)>0f(x_1) > f(x_2) > 0 ve g(x1)<g(x2)<0g(x_1) < g(x_2) < 0 eşitsizlikleri elde edilir.
ff fonksiyonunun pozitif değerli ve azalan, gg fonksiyonunun ise negatif değerli ve artan olarak tanımlanması.
2
f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) eşitsizliğinde her iki tarafı negatif değerli olan g(x1)g(x_1) ile çarpma.
f(x1)⋅g(x1)<f(x2)⋅g(x1)f(x_1) \cdot g(x_1) < f(x_2) \cdot g(x_1) eşitsizliği elde edilir.
Negatif bir sayı ile çarpılan eşitsizliğin y��n değiştirmesi.
3
g(x1)<g(x2)g(x_1) < g(x_2) eşitsizliğinde her iki tarafı pozitif değerli olan f(x2)f(x_2) ile çarpma.
f(x2)⋅g(x1)<f(x2)⋅g(x2)f(x_2) \cdot g(x_1) < f(x_2) \cdot g(x_2) eşitsizliği elde edilir.
Pozitif bir sayı ile çarpılan eşitsizliğin yönünü koruması.
4
Elde edilen iki eşitsizliği geçişme özelliği yardımıyla birleştirme.
f(x1)⋅g(x1)<f(x2)⋅g(x2)f(x_1) \cdot g(x_1) < f(x_2) \cdot g(x_2) yani (f⋅g)(x1)<(f⋅g)(x2)(f \cdot g)(x_1) < (f \cdot g)(x_2) eşitsizliği elde edilir.
Her iki eşitsizlikte de ortak olan f(x2)⋅g(x1)f(x_2) \cdot g(x_1) terimi üzerinden geçişme özelliğinin uygulanması.

Anahtar Kavram

Fonksiyonların artanlık ve azalanlık tanımlarının eşitsizlik özellikleri kullanılarak analiz edilmesi
Soru 10Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu için her x1,x2∈Rx_1, x_2 \in \mathbb{R} ve x1≠x2x_1 \neq x_2 olmak üzere,
f(x1)−f(x2)x1−x2<0\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0
eşitsizliği sağlanmaktadır.
Buna göre,
g(x)=f(x2−6x+8)g(x) = f(x^2 - 6x + 8)
fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (−∞,3](-\infty, 3]

Cevap

g fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.
Verilen değişim oranı bağıntısı, ff fonksiyonunun gerçel sayılarda daima azalan olduğunu gösterir. g(x)=f(x2−6x+8)g(x) = f(x^2 - 6x + 8) bileşke fonksiyonunun artan olabilmesi için, azalan bir fonksiyonun içine yazılan u(x)=x2−6x+8u(x) = x^2 - 6x + 8 ifadesinin azalan olması gerekir. Başkatsayısı pozitif olan u(x)u(x) parabolünün tepe noktası x=3x = 3 olup, bu parabol (−∞,3](-\infty, 3] aralığında azalandır. Dolayısıyla g(x)g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.

Adım Adım Çözüm

1
f fonksiyonunun monotonluk (artan/azalan) durumunu belirleme.
ff fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde daima azalandır.
Her x1≠x2x_1 \neq x_2 için f(x1)−f(x2)x1−x2<0\frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} < 0 oranı verilmiştir. Bu oran fonksiyonun ortalama değişim hızı formülüdür. Değişim oranının daima negatif olması, fonksiyonun tanım kümesinde daima azalan olduğunu gösterir.
2
Bileşke fonksiyon yapısındaki g(x) fonksiyonunun artanlık koşulunu analiz etme.
g(x)=f(u(x))g(x) = f(u(x)) fonksiyonunun artan olması için u(x)=x2−6x+8u(x) = x^2 - 6x + 8 ifadesinin azalan olması gerekir.
ff azalan bir fonksiyon olduğundan, girdiler küçüldükçe çıktılar büyür. Yani u(x1)>u(x2)  ⟹  f(u(x1))<f(u(x2))u(x_1) > u(x_2) \implies f(u(x_1)) < f(u(x_2)) olur. g(x)g(x) fonksiyonunun artan olması (x1<x2  ⟹  g(x1)<g(x2)x_1 < x_2 \implies g(x_1) < g(x_2)) için, içteki u(x)u(x) fonksiyonunun azalan (x1<x2  ⟹  u(x1)>u(x2)x_1 < x_2 \implies u(x_1) > u(x_2)) olması gerekmektedir.
3
u(x) = x^2 - 6x + 8 parabolünün azalan olduğu en geniş aralığı bulma.
u(x)u(x) fonksiyonu (−∞,3](-\infty, 3] aralığında azalandır.
u(x)=x2−6x+8u(x) = x^2 - 6x + 8 parabolünün başkatsayısı 1>01 > 0 olduğu için kolları yukarı doğrudur. Tepe noktasının apsisi r=−b2a=−−62⋅1=3r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 olarak bulunur. Kolları yukarı doğru olan bir parabol tepe noktasına kadar azalandır. Bu nedenle azalan olduğu en geni�� aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.
4
Elde edilen sonuçları birleştirerek g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığı yazma.
g(x)g(x) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (−∞,3](-\infty, 3] aralığıdır.
u(x)u(x) fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık, g(x)=f(u(x))g(x) = f(u(x)) fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralığa eşittir.

Anahtar Kavram

Değişim oranı yardımıyla fonksiyonların artanlık ve azalanlık durumlarının belirlenmesi, bileşke fonksiyonların monotonluk analizi ve ikinci dereceden fonksiyonların (parabol) artan/azalan olduğu aralıkların bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →
Azalan bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu yardımıyla
g(x)=f(x2−6x+8)g(x) = f(x^2 - 6x + 8)
fonksiyonu tanımlanıyor.

gg fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (−∞,a](-\infty, a] olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Doğru cevap 3'tür. Azalan bir fonksiyon altında bileşke fonksiyonun artan olabilmesi için içteki fonksiyonun azalan olması gerekir. Buna göre x^2 - 6x + 8 parabolü tepe noktası olan x = 3'ün solunda, yani (-∞, 3] aralığında azalandır. Bu nedenle g fonksiyonu bu aralıkta artan olur ve a = 3 bulunur.
g(x) = f(x^2 - 6x + 8) fonksiyonunun artan olması için içteki u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olması gerekir (çünkü f azalandır). u(x) parabolünün tepe noktası apsisi 3 olduğundan, bu parabolün azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] aralığıdır. Buradan a = 3 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun artanlık koşulunu analiz etmek.
g(x) = f(x^2 - 6x + 8) fonksiyonunun artan olması için u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olması gerekir.
f fonksiyonu azalan olduğundan, girdiler küçüldükçe çıktılar büyür. Bu yüzden, x arttıkça g(x) değerlerinin artması için girdisi olan u(x) değerlerinin azalması gerekir.
2
İçteki u(x) = x^2 - 6x + 8 fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralığı bulmak.
u(x) parabolünün azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] aralığıdır.
Kolları yukarı doğru olan bir parabolün azalan olduğu bölge, tepe noktasının sol tarafıdır. Bu parabolün tepe noktasının apsisi r = -b/(2a) = -(-6)/(2*1) = 3 olduğundan, azalan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] olur.
3
a değerini tespit etmek.
a = 3 bulunur.
g fonksiyonunun artan olduğu en geniş aralık (-∞, 3] olarak elde edilir. Soruda bu aralık (-∞, a] olarak verildiğinden a = 3'tür.

Anahtar Kavram

Bileşke Fonksiyonlarda Artanlık ve Azalanlık
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 12Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu daima artan, gg fonksiyonu ise daima azalandır.
f(3)=g(3)f(3) = g(3)
olduğuna göre,
I. f(4)>g(4)f(4) > g(4)
II. f(x)−g(x)f(x) - g(x) fonksiyonu daima artandır.
III. f(x)+g(x)f(x) + g(x) fonksiyonu daima artandır.
ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri kesinlikle doğrudur.
Doğru seçenekte yer alan birinci öncül, artan ve azalan fonksiyonların tanımları gereği f(4)>f(3)=g(3)>g(4)f(4) > f(3) = g(3) > g(4) sıralamasıyla kesin olarak doğrulanır. İkinci öncül ise, herhangi x1<x2x_1 < x_2 için f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) ve −g(x1)<−g(x2)-g(x_1) < -g(x_2) eşitsizliklerinin taraf tarafa toplanmasıyla f(x)−g(x)f(x) - g(x) fark fonksiyonunun daima artan olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların artanlık ve azalanlık tanımlarını kullanarak birinci öncülü analiz edin.
ff fonksiyonu daima artan olduğundan, 4>34 > 3 için f(4)>f(3)f(4) > f(3) elde edilir. gg fonksiyonu daima azalan olduğundan, 4>34 > 3 için g(4)<g(3)g(4) < g(3) elde edilir.
Artan fonksiyonlarda tanım kümesindeki elemanlar büyüdükçe görüntüleri de büyür; azalan fonksiyonlarda ise elemanlar büyüdükçe görüntüleri küçülür.
2
Verilen eşitliği kullanarak elde edilen eşitsizlikleri birleştirin.
f(3)=g(3)f(3) = g(3) olduğundan, f(4)>f(3)=g(3)>g(4)  ⟹  f(4)>g(4)f(4) > f(3) = g(3) > g(4) \implies f(4) > g(4) elde edilir. Dolayısıyla birinci öncül kesinlikle doğrudur.
Her iki fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki değerlerinin eşit olması, bu noktadan sonraki değerlerin kıyaslanmasını sağlar.
3
İki fonksiyonun farkı olan h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x) fonksiyonunun artanlığını tanım kullanarak inceleyin.
Herhangi x1<x2x_1 < x_2 gerçel sayıları için; ff artan olduğundan f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) olur. gg azalan olduğundan g(x1)>g(x2)  ⟹  −g(x1)<−g(x2)g(x_1) > g(x_2) \implies -g(x_1) < -g(x_2) olur. Bu iki eşitsizlik taraf tarafa toplandığında f(x1)−g(x1)<f(x2)−g(x2)  ⟹  h(x1)<h(x2)f(x_1) - g(x_1) < f(x_2) - g(x_2) \implies h(x_1) < h(x_2) elde edilir.
Eşitsizliklerin yönü aynı olduğundan taraf tarafa toplanabilirler ve bu durum h(x)h(x) fonksiyonunun daima artan olduğunu kanıtlar. Dolayısıyla ikinci öncül kesinlikle doğrudur.
4
İki fonksiyonun toplamı olan f(x)+g(x)f(x) + g(x) fonksiyonunun artanlığını bir karşıt örnekle inceleyin.
f(x)=2xf(x) = 2x (daima artan) ve g(x)=−3xg(x) = -3x (daima azalan) olsun. Bu durumda f(x)+g(x)=−xf(x) + g(x) = -x olur. Ancak −x-x fonksiyonu daima azalandır, artan değildir.
Bulunan karşıt örnek, artan ve azalan iki fonksiyonun toplamının daima artan olmak zorunda olmadığını gösterir. Dolayısıyla üçüncü öncül kesinlikle doğru değildir.

Anahtar Kavram

Artan ve azalan fonksiyonların tanımı ile eşitsizlik ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 13Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu daima artandır.
g(x)=f(x3−3x2−9x+12)g(x) = f(x^3 - 3x^2 - 9x + 12)
biçiminde tanımlanan gg fonksiyonunun azalan olduğu en geniş aralık [a,b][a, b] olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İstenen a+ba + b toplamı 22 değerine eşittir.
Bileşke fonksiyonun türevi olan g′(x)=f′(x3−3x2−9x+12)⋅(3x2−6x−9)g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 - 9x + 12) \cdot (3x^2 - 6x - 9) ifadesinde ff daima artan olduğundan ilk çarpan daima pozitiftir. Dolayısıyla g′(x)≤0g'(x) \le 0 olması için ikinci çarpanın 3x2−6x−9≤03x^2 - 6x - 9 \le 0 olması gerekir. Bu eşitsizlik [−1,3][-1, 3] aralığındaki gerçel sayılar için sağlandığından en geniş azalanlık aralığı [−1,3][-1, 3] olur. Buradan a=−1a = -1, b=3b = 3 bulunur ve toplamları 22 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bileşke fonksiyonun türevini almak
g′(x)=f′(x3−3x2−9x+12)⋅(3x2−6x−9)g'(x) = f'(x^3 - 3x^2 - 9x + 12) \cdot (3x^2 - 6x - 9)
Fonksiyonun artanlık veya azalanlığını incelemek için türevinin işaretini incelememiz gerekir.
2
Dış fonksiyonun türevinin işaretini belirlemek
f′(u)>0f'(u) > 0 (her uu gerçel sayısı için)
ff fonksiyonu daima artan olarak tanımlandığı için türevi daima pozitiftir.
3
İçteki fonksiyonun türevinin işaret tablosunu oluşturmak
3x2−6x−9≤0  ⟹  x∈[−1,3]3x^2 - 6x - 9 \le 0 \implies x \in [-1, 3]
g′(x)≤0g'(x) \le 0 olmasını sağlayan aralığı bulmak için bu eşitsizliği çözeriz.
4
aa ve bb değerlerini bulup toplamı hesaplamak
a=−1a = -1, b=3  ⟹  a+b=2b = 3 \implies a + b = 2
[−1,3][-1, 3] aralığının uç noktaları aa ve bb olarak tanımlanmıştır.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıkta türevinin sıfırdan küçük veya eşit olması ve bileşke fonksiyonun türevi zincir kuralı uygulaması.
Tahmini Süre:2m 0s
Artan ve Azalan Fonksiyonlar Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin