f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ve g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} fonksiyonları… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ve $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonları her $x$ gerçel sayısı için sırasıyla $f(x) > 0$ ve $g(x) < 0$ eşitsizliklerini sağlamaktadır.

$f$ fonksiyonu daima artan ve $g$ fonksiyonu daima azalan olduğuna göre,

I. $u(x) = f(x) \cdot g(x)$
II. $v(x) = \frac{1}{g(x) - f(x)}$
III. $w(x) = (g \circ f)(x) + g(x)$

fonksiyonlarından hangileri $\mathbb{R}$ üzerinde daima azalan bir fonksiyondur?

A
Yalnız I
B
Yalnız III
C
I ve II
I ve IIICevap
E
II ve III

Cevap

I ve III ifadelerinde verilen fonksiyonlar daima azalandır.

I ve III ifadelerinde verilen fonksiyonlar daima azalandır. Çarpım fonksiyonunda çarpanların işaretleri ve monotonluk yönleri çarpımın azalan olmasını sağlarken, bileşke ve toplam fonksiyonunda iki azalan fonksiyonun toplamı her zaman azalanlık özelliğini korur.

Adım Adım Çözüm

I. öncüldeki

u(x) = f(x) \cdot g(x)

fonksiyonunun monotonluğunu incelemek için tanım kümesinden

x_1 < x_2

elemanlarını seçelim.

f

fonksiyonu pozitif değerli ve daima artan olduğundan

0 < f(x_1) < f(x_2)

olur.

g

fonksiyonu negatif değerli ve daima azalan olduğundan

g(x_1) > g(x_2)

yani

-g(x_2) > -g(x_1) > 0

olur. Pozitif terimli eşitsizliklerin taraf tarafa çarpımından

f(x_1) \cdot [-g(x_1)] < f(x_2) \cdot [-g(x_2)] \Rightarrow f(x_1)g(x_1) > f(x_2)g(x_2)

elde edilir.

Eşitsizlik

u(x_1) > u(x_2)

haline geldiği için

u

fonksiyonu daima azalandır. Dolayısıyla I. öncül doğrudur.

II. öncüldeki

v(x) = \frac{1}{g(x) - f(x)}

fonksiyonunun paydasındaki ifadenin ve tüm ifadenin monotonluğunu inceleyelim.

g(x)

daima azalan ve

-f(x)

daima azalan olduğundan, bunların toplamı olan

y(x) = g(x) - f(x)

daima azalandır. Ayrıca

g(x) < 0

f(x) > 0

olduğundan

y(x) < 0

(negatif değerli) olur. Negatif değerli ve azalan bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi olan

v(x) = \frac{1}{y(x)}

fonksiyonu için

x_1 < x_2

alındığında

0 > y(x_1) > y(x_2) \Rightarrow \frac{1}{y(x_1)} < \frac{1}{y(x_2)}

elde edilir.

v(x_1) < v(x_2)

olduğundan

v

fonksiyonu daima artandır, azalan değildir. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.

III. öncüldeki

w(x) = (g \circ f)(x) + g(x)

fonksiyonunu oluşturan bileşenlerin monotonluğunu inceleyelim.

f

artan ve

g

azalan olduğundan, bileşke fonksiyon

(g \circ f)(x)

daima azalandır.

g(x)

fonksiyonu da daima azalan olarak verilmiştir. İki azalan fonksiyonun toplamı olan

w(x) = (g \circ f)(x) + g(x)

da daima azalan bir fonksiyon olur.

İki azalan fonksiyonun toplamı her zaman azalan olduğundan

w

fonksiyonu daima azalandır. Dolayısıyla III. öncül doğrudur.

Anahtar Kavram

Artan ve azalan fonksiyonların tanımı, fonksiyon bileşkesinin monotonluğu ve işaret durumlarına göre fonksiyon işlemlerinin monotonluk üzerindeki etkileri.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru