Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları

Bir gölün suyunun berraklığını ve ışık geçirgenliğini inceleyen bir grup araştırmacı, göl yüzeyindeki ışık şiddeti I0I_0 lüks (lux) iken, yüzeyden dd metre derinlikteki ışık şiddetini I(d)I(d) lüks olarak ölçmektedir. Bu göl için derinliğe bağlı ışık şiddeti

I(d)=I0⋅e−0.08⋅dI(d) = I_0 \cdot e^{-0.08 \cdot d}

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, göldeki ışık ��iddetinin yüzeydeki ışık şiddetinin %20'sine düştüğü derinlik kaç metredir? ( ln⁡5≈1.6\ln 5 \approx 1.6 alınız. )

Cevap: 20 m

Cevap

Göldeki ışık şiddetinin yüzeydeki ışık şiddetinin %20'sine düştüğü derinlik 20 metredir.
Işık şiddetinin yüzeydeki değerin %20'si olan 0.20⋅I00.20 \cdot I_0 değerine ulaştığı derinliği bulmak amacıyla I0⋅e−0.08⋅d=0.20⋅I0I_0 \cdot e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 \cdot I_0 denklemi kurulur. Buradan e−0.08⋅d=0.20=5−1e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 = 5^{-1} elde edilir. Her iki tarafın doğal logaritması alındığında −0.08⋅d=ln⁡(5−1)=−ln⁡5-0.08 \cdot d = \ln(5^{-1}) = -\ln 5 olur. Buradan 0.08⋅d=ln⁡50.08 \cdot d = \ln 5 elde edilir. Soruda verilen ln⁡5≈1.6\ln 5 \approx 1.6 değeri yerine yazıldığında 0.08⋅d=1.6  ⟹  d=200.08 \cdot d = 1.6 \implies d = 20 metre bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Işık şiddetinin yüzeydeki değerin %20'si olması koşulunu matematiksel olarak ifade etme.
I(d)=0.20⋅I0I(d) = 0.20 \cdot I_0 elde edilir.
Yüzeydeki ışık şiddeti I0I_0 olarak tanımlandığı için, bu değerin %20'si 0.20⋅I00.20 \cdot I_0 değerine karşılık gelir.
2
Elde edilen bu koşulu verilen model fonksiyonunda yerine yazma.
I0⋅e−0.08⋅d=0.20⋅I0I_0 \cdot e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 \cdot I_0 denklemi kurulur.
Belirli bir dd derinliğindeki ışık şiddeti formülü ile hedeflenen ışık şiddeti değeri eşitlenir.
3
Denklemdeki ortak terimleri sadeleştirerek üstel ifadeyi yalnız bırakma.
e−0.08⋅d=0.20=15e^{-0.08 \cdot d} = 0.20 = \frac{1}{5} bulunur.
Her iki taraftaki I0I_0 çarpanları sadeleştirilerek bilinmeyen derinlik dd değişkeninin çözümü kolayla��tırılır.
4
Her iki tarafın doğal logaritmasını alarak üstel denklemi logaritmik denkleme dönüştürme.
−0.08⋅d=ln⁡(5−1)  ⟹  0.08⋅d=ln⁡5-0.08 \cdot d = \ln(5^{-1}) \implies 0.08 \cdot d = \ln 5 elde edilir.
ee tabanındaki üstel ifadenin üssünü aşağı indirmek amacıyla doğal logaritma tanımı ve ln⁡(x−1)=−ln⁡x\ln(x^{-1}) = -\ln x özelliği kullanılır.
5
Soruda verilen yaklaşık logaritma değerini kullanarak derinliği hesaplama.
d=20d = 20 bulunur.
ln⁡5≈1.6\ln 5 \approx 1.6 değeri denklemde yerine yerleştirilerek 0.08⋅d=1.6  ⟹  d=200.08 \cdot d = 1.6 \implies d = 20 sonucu elde edilir.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar içeren gerçek hayat modellerinde denklem kurma, logaritma özelliklerini kullanarak üstel denklemleri çözme.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları