Examkin

Soru

Zorluk: KolayÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları
Bir bakteri türünün başlangıçtaki sayısı N0N_0 ve tt saat sonraki sayısı N(t)N(t) olmak üzere, bu bakterinin çoğalma modeli
N(t)=N0⋅20.5tN(t) = N_0 \cdot 2^{0.5t}
formülü ile verilmektedir.
Buna göre, başlangıçta 10001000 adet bakteri bulunan bu popülasyondaki bakteri sayısı kaç saat sonra 80008000 olur?

Cevap: 6 saat

Cevap

Bakteri sayısının 80008000 olması için geçmesi gereken süre 66 saattir.
Bakteri büyüme modelinde N(t)=8000N(t) = 8000 ve N0=1000N_0 = 1000 yazıldığında 8000=1000⋅20.5t8000 = 1000 \cdot 2^{0.5t} eşitliği elde edilir. Sadeleştirme yapıldığında 8=20.5t8 = 2^{0.5t} olur. 88 sayısı 232^3 şeklinde yazıldığında tabanlar eşit olduğu için üsler eşitlenir ve 3=0.5t3 = 0.5t denklemi kurulur. Buradan geçmesi gereken süre t=6t = 6 saat olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen başlangıç değeri N0=1000N_0 = 1000 ve hedef bakteri sayısı N(t)=8000N(t) = 8000 değerlerini formülde yerine yazmak.
8000=1000⋅20.5t8000 = 1000 \cdot 2^{0.5t} denklemi kurulur.
Soruda belirtilen hedefe ulaşmak için model formülündeki bilinen büyüklükler yerleştirilmelidir.
2
Eşitliğin her iki tarafını 10001000 ile bölerek sadeleştirme yapmak.
8=20.5t8 = 2^{0.5t} elde edilir.
Üslü terimi yalnız bırakarak çözümü kolaylaştırmak hedeflenir.
3
88 sayısını 22 tabanında üslü biçimde yazarak üsleri eşitlemek.
23=20.5t  ⟹  3=0.5t2^3 = 2^{0.5t} \implies 3 = 0.5t elde edilir.
Tabanları aynı olan iki üslü ifade birbirine eşitse, üsleri de birbirine eşit olmalıdır.
4
3=0.5t3 = 0.5t denklemini çözmek.
t=6t = 6 bulunur.
tt değişkenini bulmak için her iki taraf 22 ile çarpılır veya 0.50.5 ile bölünür.

Anahtar Kavram

Üstel büyüme modellerinde denklem kurma ve çözme
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları