Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları
Bir ses yalıtım malzemesinin kalınlığı ile bu malzemeden geçen sesin şiddet düzeyi arasındaki ilişkiyi inceleyen bir mühendis, x cmx\text{ cm} kalınlığındaki bir yalıtım duvarından geçen sesin şiddet düzeyini β(x)\beta(x) desibel (dB\text{dB}) cinsinden
β(x)=β0−10log⁡10(1+ax)\beta(x) = \beta_0 - 10 \log_{10}(1 + ax)
modeli ile hesaplamaktadır. Bu modelde β0\beta_0 sesin malzemeye çarpmadan önceki ilk şiddet düzeyini, aa ise malzemeye bağlı pozitif bir sabiti göstermektedir.
Aynı malzemeden yapılmış 3 cm3\text{ cm} kalınlığındaki bir duvar, 80 dB80\text{ dB} şiddetindeki bir sesi 70 dB70\text{ dB} düzeyine düşürmektedir.
Buna göre, aynı malzemeden yapılmış bir duvarın 80 dB80\text{ dB} şiddetindeki bir sesi 50 dB50\text{ dB} düzeyine düşürebilmesi için kalınlığı kaç cm\text{cm} olmalıdır?

Cevap: 333 cm

Cevap

Duvarın kalınlığı 333 cm olmalıdır.
Ses yalıtım modeli kullanılarak ilk verilerden malzemenin a sabiti 3 olarak bulunur. Ardından, sesin 80 dB'den 50 dB'e düşmesi için gereken kalınlık x değeri modelde yerine yazıldığında log10(1 + 3x) = 3 denklemi elde edilir. Logaritma tanımı gereği 1 + 3x = 1000 olup buradan x = 333 cm olarak doğru şekilde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk durumdaki verileri (x = 3, ilk ses şiddeti 80 dB ve geçiş sonrası ses şiddeti 70 dB) denklemde yerine yazarak malzeme sabiti olan a değerini bulmak.
70 = 80 - 10 * log10(1 + 3a) denklemi elde edilir.
Malzemenin ses yutma katsayısını (a sabiti) belirlemek, ikinci durumdaki kalınlığı hesaplamak için gereklidir.
2
Elde edilen logaritmik denklemi çözerek a değerini hesaplamak.
log10(1 + 3a) = 1 => 1 + 3a = 10 => a = 3 bulunur.
Logaritma tanımı gereği log10(y) = 1 ise y = 10'dur.
3
Hesaplanan a = 3 değerini ve ikinci durumdaki verileri (ilk ses şiddeti 80 dB ve hedef ses şiddeti 50 dB) modelde yerine koymak.
50 = 80 - 10 * log10(1 + 3x) denklemi kurulur.
İstenen yalıtım düzeyini sağlayacak kalınlık (x) değerini belirlemek için yeni bir denklem oluşturulur.
4
Oluşturulan denklemi x için çözmek.
log10(1 + 3x) = 3 => 1 + 3x = 1000 => 3x = 999 => x = 333 bulunur.
Logaritma tanımı kullanılarak logaritmik ifade üstel ifadeye dönüştürülür ve x yalnız bırakılır.

Anahtar Kavram

Logaritmik fonksiyonların gerçek hayat durumlarını modellemede kullanımı ve logaritma özelliklerini uygulayarak denklem çözme.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları