Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları
Sabit 20∘C20^\circ\text{C} sıcaklıktaki bir laboratuvar ortamında bulunan iki farklı kimyasal sıvının sıcaklıklarının zamana göre değişimi incelenmektedir. A sıvısının tt dakika sonraki sıcaklığı TA(t)=20+64⋅4−atT_A(t) = 20 + 64 \cdot 4^{-at} B sıvısının tt dakika sonraki sıcaklığı TB(t)=20+128⋅8−btT_B(t) = 20 + 128 \cdot 8^{-bt} fonksiyonları ile modellenmiştir (burada aa ve bb pozitif sabitlerdir). Deneyin başlangıcından 55 dakika sonra her iki sıvının sıcaklığı da 36∘C36^\circ\text{C} olarak ölçülmüştür. Buna göre, deneyin başlangıcından kaç dakika sonra B sıvısının sıcaklığı, A sıvısının sıcaklığının 14\frac{1}{4}'ünden 16∘C16^\circ\text{C} fazla olur?

Cevap: 10 dakika

Cevap

Deneyin başlangıcından 10 dakika sonra B sıvısının sıcaklığı, A sıvısının sıcaklığının 1/4'ünden 16°C fazla olur.
Sıvıların sıcaklık modellerindeki bilinmeyen katsayılar başlangıç verileriyle a=1/5a=1/5 ve b=1/5b=1/5 olarak belirlenir. İstenen sıcaklık eşitliği kurulup y=2−t/5y = 2^{-t/5} dönüşümü yapıldığında 128y3−16y2−1=0128y^3 - 16y^2 - 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (4y−1)(32y2+4y+1)=0(4y-1)(32y^2+4y+1)=0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. İkinci çarpanın reel kökü olmadığından 4y−1=0  ⟹  y=1/44y-1=0 \implies y=1/4 tek çözümdür. Buradan 2−t/5=2−2  ⟹  t=102^{-t/5} = 2^{-2} \implies t = 10 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A ve B sıvılarının sıcaklık modellerindeki aa ve bb katsayılarını bulunuz.
a=15a = \frac{1}{5} ve b=15b = \frac{1}{5} olarak bulunur.
t=5t=5 anında her iki sıvının sıcaklığının 36∘C36^\circ\text{C} olduğu bilgisi kullanılarak üstel denklemler çözülür.
2
B sıvısının sıcaklığının, A sıvısının sıcaklığının 14\frac{1}{4}'ünden 16∘C16^\circ\text{C} fazla olduğu anı veren denklemi kurunuz.
20+128⋅8−t/5=14(20+64⋅4−t/5)+1620 + 128 \cdot 8^{-t/5} = \frac{1}{4}(20 + 64 \cdot 4^{-t/5}) + 16 denklemi elde edilir.
Soruda verilen sözel ilişki matematiksel eşitliğe dökülür.
3
y=2−t/5y = 2^{-t/5} dönüşümü yaparak elde edilen üçüncü dereceden denklemi çarpanlarına ayırıp çözünüz.
y=14y = \frac{1}{4} tek gerçek kök olarak bulunur.
128y3−16y2−1=0  ⟹  (4y−1)(32y2+4y+1)=0128y^3 - 16y^2 - 1 = 0 \implies (4y - 1)(32y^2 + 4y + 1) = 0 eşitliğinde ikinci çarpanın gerçel kökü yoktur.
4
yy değerini kullanarak tt süresini hesaplayınız.
t=10t = 10 dakika olarak bulunur.
2−t/5=14=2−22^{-t/5} = \frac{1}{4} = 2^{-2} temel logaritmik/üstel eşitliği çözülür.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon modellerinde değişken değiştirme yöntemi kullanılarak çok terimli denklemlerin çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları