Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x3−ax2+3f(x) = x^3 - ax^2 + 3 eğrisine x=1x = 1 apsisli noktasından çizilen teğet doğrusu orijinden geçmektedir.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevap: -1

Cevap

-1
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi f′(1)f'(1) değerine eşittir. Bu teğet doğrusu orijinden (0,0)(0,0) geçtiği için teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) ile orijin arasındaki eğim formülü yazıldığında eğim fracf(1)−01−0=f(1)\\frac{f(1) - 0}{1 - 0} = f(1) olur. Dolayısıyla f′(1)=f(1)f'(1) = f(1) eşitliği elde edilir. f(1)=4−af(1) = 4-a ve f′(1)=3−2af'(1) = 3-2a değerleri bu eşitlikte yerine konulduğunda 3−2a=4−a3-2a = 4-a denklemi elde edilir ve buradan a=−1a = -1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun orijinden geçmesi şartını belirlemek.
f′(1)=f(1)f'(1) = f(1)
Orijinden ve (1,f(1))(1, f(1)) noktasından geçen doğrunun eğimi fracf(1)−01−0=f(1)\\frac{f(1) - 0}{1 - 0} = f(1) olup bu değer teğet doğrusunun eğimi olan f′(1)f'(1) türev değerine eşit olmalıdır.
2
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki değerini bulmak.
f(1)=4−af(1) = 4 - a
f(x)=x3−ax2+3f(x) = x^3 - ax^2 + 3 fonksiyonunda xx yerine 11 yazılır.
3
Türev fonksiyonunu bulup x=1x = 1 noktasındaki türev (eğim) değerini hesaplamak.
f′(1)=3−2af'(1) = 3 - 2a
f′(x)=3x2−2axf'(x) = 3x^2 - 2ax türevinde xx yerine 11 yazılır.
4
Elde edilen ifadeleri eşitleyerek aa bilinmeyenini çözmek.
a=−1a = -1
3−2a=4−aimpliesa=−13 - 2a = 4 - a \\implies a = -1 denklemi düzenlenerek a=−1a = -1 bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyona üzerindeki (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) noktasından çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki türevi olan f′(x0)f'(x_0) değerine eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru