Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasit Olayların Olasılığı

Bir düzgün zar art arda 3 kez havaya atılıyor. Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımının 12 ile tam bölünebilme olasılığı en sade biçimde ab\frac{a}{b} rasyonel sayısı olarak ifade edilmektedir.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevap: 307

Cevap

307
Soruda istenen olasılık, zarların çarpımının 12'ye tam bölünmesidir. Bu olasılığı tümleyen yöntemiyle 12'ye bölünemeyen durumları tüm durumlardan çıkararak 91216\frac{91}{216} olarak buluruz. 91 ve 216 sayıları aralarında asal olduğundan pay ve payda toplamı 91+216=30791 + 216 = 307 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Örnek uzayın eleman sayısını belirlemek.
Örnek uzayın eleman sayısı: 63=2166^3 = 216
Bir zarın 6 yüzü vardır ve zar 3 kez atıldığında toplam 6×6×6=2166 \times 6 \times 6 = 216 farklı sonuç oluşur.
2
Çarpımın 12 ile bölünebilme şartlarını analiz etmek.
Çarpımın 12 ile tam bölünebilmesi için asal çarpanlarında en az bir adet 3 ve en az iki adet 2 bulunmalıdır.
12 sayısı 22×32^2 \times 3 olarak asal çarpanlarına ayrılır.
3
Koşulu sağlamayan durumları tümleyen yöntemiyle belirlemek.
Çarpımın 3'e bölünmediği durum sayısı 64'tür. Çarpımın 4'e bölünmediği durum sayısı 81'dir. Hem 3'e hem 4'e bölünmeyen durum sayısı ise 20'dir.
Kümelerin birleşimi ilkesini (inclusion-exclusion) uygulayarak istenmeyen durumları daha kolay sayabiliriz.
4
İstenmeyen durumların toplam sayısını ve istenen durum sayısını hesaplamak.
İstenmeyen durum sayısı: 64+81−20=12564 + 81 - 20 = 125. İstenen durum sayısı: 216−125=91216 - 125 = 91.
İstenmeyen durum sayısı n(A′∪B′)=n(A′)+n(B′)−n(A′∩B′)n(A' \cup B') = n(A') + n(B') - n(A' \cap B') formülüyle bulunur. İstenen durum sayısı ise tüm durumlardan istenmeyenin çıkarılmasıyla elde edilir.
5
Olasılığı bulup pay ve payda toplamını hesaplamak.
Olasılık 91216\frac{91}{216} olup a+b=91+216=307a+b = 91 + 216 = 307 olur.
91 ile 216 sayıları aralarında asaldır, dolayısıyla kesir en sade haldedir.

Anahtar Kavram

Tümleyen Olayların Olasılığı ve Kümelerde Birleşim İlkesi
Bu soruyu puanla

Konular

Basit Olayların Olasılığı

Bu konudan daha fazla soru