Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
x+4(x−1)2(x−3)≥0 \frac{x+4}{(x-1)^2(x-3)} \ge 0
x2−2x−15≤0 x^2 - 2x - 15 \le 0

eşitsizlik sistemini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 9

Cevap

Eşitsizlik sistemini sağlayan x tam sayılarının toplamı 9'dur.
Verilen eşitsizlik sistemini oluşturan iki eşitsizliğin ortak çözüm kümesi (3, 5] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 4 ve 5 olup, toplamları 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliğin köklerini bulup işaret tablosunu oluşturma
Kökler: payın kökü x = -4, paydanın kökleri x = 1 (çift katlı) ve x = 3'tür. Çözüm aralığı: (-\infty, -4] \cup (3, \infty)
Eşitsizlik sisteminin birinci kısmının çözüm kümesini belirlemek için pay ve paydadaki ifadelerin sıfır olduğu noktalar bulunmalı ve işaret incelenmelidir. x = 1 paydanın kökü olduğu için tanımsızlık yaratır ve çift katlı köktür.
2
İkinci eşitsizliğin köklerini bulup çözüm aralığını belirleme
Kökler: x = 5 ve x = -3'tür. Çözüm aralığı: [-3, 5]
x^2 - 2x - 15 <= 0 ifadesi (x - 5)(x + 3) <= 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kökler tabloya yerleştirilerek baş katsayı pozitif olduğundan +, -, + şeklinde işaretlenir ve negatif veya sıfır olan bölge seçilir.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alma
Kesişim kümesi: (3, 5]
Sistemi sağlayan x değerleri, her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan değerlerdir. Bu nedenle birinci ve ikinci adımlarda elde edilen aralıkların kesişimi alınır.
4
Kesişim kümesindeki tam sayıları bulup toplama
Tam sayılar: 4 ve 5. Toplam: 4 + 5 = 9
(3, 5] yarı açık aralığındaki tam sayılar 4 ve 5'tir. Bu tam sayıların toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri