Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
Bir xx gerçel sayısı için,
(x−2)(x2−9)x−2≤0\frac{(x - 2)(x^2 - 9)}{x - 2} \le 0
x2−3x−4<0x^2 - 3x - 4 < 0
eşitsizlik sistemi veriliyor.

Buna göre, bu eşitsizlik sisteminin gerçel sayılar kümesindeki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. (−1,3]∖{2}(-1, 3] \setminus \{2\}Cevap
  2. B
    (−1,3](-1, 3]
  3. C
    (2,3](2, 3]
  4. D
    [−1,3][-1, 3]
  5. E
    [−1,3]∖{2}[-1, 3] \setminus \{2\}

Cevap

(−1,3]∖{2}(-1, 3] \setminus \{2\}
Birinci eşitsizlikte x−2x-2 ifadesinin paydada yer alması nedeniyle x≠2x \neq 2 olmalıdır. Bu koşul altında sadeleştirme yapıldığında x2−9≤0  ⟹  x∈[−3,3]x^2 - 9 \le 0 \implies x \in [-3, 3] bulunur, yani ilk eşitsizliğin çözüm kümesi [−3,3]∖{2}[-3, 3] \setminus \{2\} olur. İkinci eşitsizlik ise (x−4)(x+1)<0  ⟹  x∈(−1,4)(x-4)(x+1) < 0 \implies x \in (-1, 4) aralığını verir. Bu iki çözüm kümesinin kesişimi (−1,3]∖{2}(-1, 3] \setminus \{2\} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz etme
[−3,3]∖{2}[-3, 3] \setminus \{2\}
Payda sıfır olamayacağından x≠2x \neq 2 olmalıdır. Bu koşul altında pay ve paydadaki x−2x - 2 ifadeleri sadeleştirildiğinde x2−9≤0x^2 - 9 \le 0 elde edilir, bunun da çözüm kümesi [−3,3][-3, 3] aralığıdır. Tanımsızlık noktası olan 22 çıkarıldığında çözüm kümesi [−3,3]∖{2}[-3, 3] \setminus \{2\} olur.
2
İkinci eşitsizliği analiz etme
(−1,4)(-1, 4)
x2−3x−4<0x^2 - 3x - 4 < 0 eşitsizliği çarpanlarına ayrıldığında (x−4)(x+1)<0(x - 4)(x + 1) < 0 elde edilir. Bu ifadenin kökleri x=−1x = -1 ve x=4x = 4 olup, işaret incelemesiyle çözüm aralığı (−1,4)(-1, 4) olarak bulunur.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini bulma
(−1,3]∖{2}(-1, 3] \setminus \{2\}
Her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan gerçel sayıları bulmak için elde edilen iki çözüm kümesinin kesişim kümesi alınır: ([−3,3]∖{2})∩(−1,4)=(−1,3]∖{2}([-3, 3] \setminus \{2\}) \cap (-1, 4) = (-1, 3] \setminus \{2\}.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik sistemlerinin çözümünde, her bir eşitsizliğin çözüm kümeleri ayrı ayrı bulunur ve bu kümelerin kesişim kümesi sistemin çözüm kümesi olarak belirlenir. Paydayı sıfır yapan değerler ve çift katlı kök özellikleri işaret tablosunda doğru şekilde temsil edilmelidir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri