Examkin

Soru

Zorluk: ZorSinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde kenar uzunlukları a=5 birima = 5\text{ birim}, b=8 birimb = 8\text{ birim} ve üçgenin alanı 103 birimkare10\sqrt{3}\text{ birimkare} olarak verilmektedir.

m(ACB^)<90∘m(\widehat{ACB}) < 90^\circ ve bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birim olduğuna göre, R3R\sqrt{3} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 7

Cevap

İstenen R3R\sqrt{3} ifadesinin değeri 7'dir.
Üçgenin sinüslü alan formülü kullanılarak CC açısının sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} bulunur. Açı dar açı olduğu için 60∘60^\circ olarak belirlenir. Ardından Kosinüs Teoremi ile cc kenarı 7 birim olarak hesaplanır. Son olarak Sinüs Teoremi kullanılarak 2R=csin⁡(C)2R = \frac{c}{\sin(C)} bağıntısından çevrel çemberin yarıçapı R=73R = \frac{7}{\sqrt{3}} elde edilir ve buradan R3=7R\sqrt{3} = 7 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçgenin alan formülünü uygulayarak CC açısının sinüs değerini hesaplama.
sin⁡(ACB^)=32\sin(\widehat{ACB}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
Bir üçgenin alanı, iki kenarı ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
2
CC açısının dar açı olma koşuluna göre açının ölçüsünü derece cinsinden bulma.
m(ACB^)=60∘m(\widehat{ACB}) = 60^\circ
0∘<ACB^<90∘0^\circ < \widehat{ACB} < 90^\circ aralığında sinüsü 32\frac{\sqrt{3}}{2} olan tek açı 60∘60^\circ derecedir.
3
Kosinüs Teoremini uygulayarak cc kenarının uzunluğunu bulma.
c=7c = 7 birim
c2=a2+b2−2abcos⁡(ACB^)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{ACB}) formülünde bilinenler yerine yazılarak c2=25+64−2(5)(8)cos⁡(60∘)=89−40=49c^2 = 25 + 64 - 2(5)(8)\cos(60^\circ) = 89 - 40 = 49 elde edilir.
4
Sinüs Teoremini uygulayarak çevrel çemberin yarıçapı RR değerini ve R3R\sqrt{3} ifadesini hesaplama.
R=73R = \frac{7}{\sqrt{3}} ve R3=7R\sqrt{3} = 7
Sinüs Teoremine göre csin⁡(ACB^)=2R\frac{c}{\sin(\widehat{ACB})} = 2R bağıntısı geçerlidir.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi, Kosinüs Teoremi ve Sinüslü Alan Formülünün bir arada kullanılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru