Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları aa ve bb birim, bu kenarların karşılarındaki açılar sırasıyla AA ve BB, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı ise RR birimdir.

Bu üçgende,
a2−b2=12a^2 - b^2 = 12
sin⁡2A−sin⁡2B=316\sin^2 A - \sin^2 B = \frac{3}{16}

olduğuna göre, çevrel çemberin yarıçapı RR kaç birimdir?

Cevap: 4 birim

Cevap

çevrel çemberin yarıçapı 4 birimdir.
Çevrel çemberin yarıçapı 4 birimdir. Çünkü Sinüs Teoremi kullanılarak elde edilen karesel ilişkide kenarların kareleri farkı ile sinüslerin kareleri farkı oranlandığında yarıçapın karesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs teoremini kullanarak kenar uzunlukları ile açıların sinüs değerleri arasındaki ilişkiyi yazalım.
a=2Rsin⁡Aa = 2R \sin A ve b=2Rsin⁡Bb = 2R \sin B
Sinüs teoremine göre bir üçgende her kenar uzunluğu, karşı açısının sinüs değeri ve çevrel çemberin çapı (2R2R) ile orantılıdir.
2
Elde ettiğimiz eşitlikleri sin⁡A\sin A ve sin⁡B\sin B ifadelerini yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim.
sin⁡A=a2R\sin A = \frac{a}{2R} ve sin⁡B=b2R\sin B = \frac{b}{2R}
Soruda verilen sinüslü ifadelerin yerine kenar uzunluklarını yazabilmek için.
3
Bulduğumuz ifadelerin karesini alarak sin⁡2A−sin⁡2B\sin^2 A - \sin^2 B denkleminde yerine yazalım.
sin⁡2A−sin⁡2B=a24R2−b24R2=a2−b24R2=316\sin^2 A - \sin^2 B = \frac{a^2}{4R^2} - \frac{b^2}{4R^2} = \frac{a^2 - b^2}{4R^2} = \frac{3}{16}
Verilen iki denklem arasında ilişki kurarak RR değerini bulabilmek için.
4
a2−b2=12a^2 - b^2 = 12 bilgisini denklemde yerine koyup RR değerini hesaplayalım.
124R2=316  ⟹  3R2=316  ⟹  R2=16  ⟹  R=4\frac{12}{4R^2} = \frac{3}{16} \implies \frac{3}{R^2} = \frac{3}{16} \implies R^2 = 16 \implies R = 4
Bilinmeyen RR değerini yalnız bırakıp çözüme ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sinüs teoremi gereğince, bir üçgenin kenar uzunluklarının karşılarındaki açıların sinüslerine oranı sabittir ve bu oran çevrel çemberin çapına (2R2R) eşittir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru