Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorRadyoaktif Yarı Ömür ve Aktivite

Eşit sayıda radyoaktif çekirdek içeren, radyoaktif XX ve YY izotoplarından oluşan bir karışımdaki başlangıçtaki toplam aktivite A0A_0 olarak ölçülmektedir. XX izotopunun yarı ömrü 4 saat4\text{ saat}, YY izotopunun yarı ömrü ise 6 saat6\text{ saat} tir.

Buna göre, karışımdaki çekirdekler bozunmaya bırakıldıktan 12 saat12\text{ saat} sonra ölçülen toplam aktivite, başlangıçtaki toplam aktivite A0A_0'ın yüzde kaçıdır?

Cevap: 17.5 %

Cevap

12 saat12\text{ saat} sonra karış��mdaki toplam aktivite, başlangıçtaki toplam aktivitenin %17,5\%17,5'idir.
Toplam başlangıç aktivitesi hesaplanırken her bir izotopun bozunma sabitinin yarı ömrü ile ters orantılı olduğu (A0=λXN0+λYN0=ln⁡2N0(1/4+1/6)=5ln⁡212N0A_0 = \lambda_X N_0 + \lambda_Y N_0 = \ln 2 N_0 (1/4 + 1/6) = \frac{5\ln 2}{12} N_0) dikkate alınmalıdır. 1212 saat sonunda ise XX izotopunun çekirdek sayısı 3 yarı ömür geçerek N08\frac{N_0}{8} değerine, YY izotopunun çekirdek sayısı ise 2 yarı ömür geçerek N04\frac{N_0}{4} değerine düşer. Yeni aktivitelerin toplamı A(12)=ln⁡24⋅N08+ln⁡26⋅N04=7ln⁡296N0A(12) = \frac{\ln 2}{4} \cdot \frac{N_0}{8} + \frac{\ln 2}{6} \cdot \frac{N_0}{4} = \frac{7\ln 2}{96} N_0 olur. Bu iki aktivite oranlandığında 740=0,175\frac{7}{40} = 0,175 yani %17,5\%17,5 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Bozunma sabitlerinin belirlenmesi
λX=ln⁡24\lambda_X = \frac{\ln 2}{4}, λY=ln⁡26\lambda_Y = \frac{\ln 2}{6}
Yarı ömür (T1/2T_{1/2}) ile bozunma sabiti (λ\lambda) arasındaki ilişki λ=ln⁡2T1/2\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} şeklindedir.
2
Başlangıçtaki toplam aktivitenin (A0A_0) çekirdek sayısı (N0N_0) cinsinden yazılması
A0=5ln⁡212N0A_0 = \frac{5\ln 2}{12} N_0
A0=AX(0)+AY(0)=λXN0+λYN0A_0 = A_X(0) + A_Y(0) = \lambda_X N_0 + \lambda_Y N_0 toplamı hesaplanır.
3
12 saat12\text{ saat} sonra kalan çekirdek sayılarının belirlenmesi
NX(12)=N08N_X(12) = \frac{N_0}{8}, NY(12)=N04N_Y(12) = \frac{N_0}{4}
12 saat12\text{ saat} süre, XX için 3 yarı ömür (12/4=312/4 = 3), YY için 2 yarı ömür (12/6=212/6 = 2) demektir.
4
12 saat12\text{ saat} sonraki toplam aktivitenin (A(12)A(12)) hesaplanması
A(12)=7ln⁡296N0A(12) = \frac{7\ln 2}{96} N_0
AX(12)=λXNX(12)A_X(12) = \lambda_X N_X(12) ve AY(12)=λYNY(12)A_Y(12) = \lambda_Y N_Y(12) değerleri toplanır.
5
Aktivitelerin oranının yüzdeye çevrilmesi
A(12)A0×100=17,5\frac{A(12)}{A_0} \times 100 = 17,5
Son toplam aktivite başlangıçtaki toplam aktiviteye bölünerek oran 740=0,175\frac{7}{40} = 0,175 bulunur ve 100 ile çarpılarak yüzde elde edilir.

Anahtar Kavram

Radyoaktif bozunma hızı (aktivite), bozunma sabiti ile kalan çekirdek sayısının çarpımına eşittir ve yarı ömürle ters orantılıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Radyoaktif Yarı Ömür ve Aktivite

Bu konudan daha fazla soru