\arctan(x-1) + \arctan(x) + \arctan(x+1) = \arctan(3x) \neşitliğini sağlayan pozitif x ger… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\arctan(x-1) + \arctan(x) + \arctan(x+1) = \arctan(3x)

eşitliğini sağlayan pozitif

x

gerçel sayısı kaçtır?

Cevap: 0.5

Eşitliği sağlayan pozitif gerçel sayı 1/2 (veya 0,5) değeridir.

Denklem düzenlenip her iki tarafın tanjantı alındığında

2x/(2-x^2) = 2x/(1+3x^2)

eşitliği elde edilir. Buradan

2x = 0

veya

2-x^2 = 1+3x^2

olmalıdır. Pozitif kök arandığından

x^2 = 1/4

eşitliğinden

x = 1/2

(veya 0,5) elde edilir.

Terimleri gruplandırma ve düzenleme

\arctan(x-1) + \arctan(x+1) = \arctan(3x) - \arctan(x)

Tanjant toplam ve fark formüllerini her iki tarafa uygulayarak sade bir cebirsel denklem elde etmek hedeflenmiştir.

Tanjant toplam-fark formüllerini uygulama

\frac{(x-1) + (x+1)}{1 - (x-1)(x+1)} = \frac{3x - x}{1 + 3x^2}

Eşitliğin her iki tarafının tanjantı alınarak ters trigonometrik fonksiyonlardan cebirsel ifadelere geçiş yapılmıştır.

Cebirsel eşitliği sadeleştirme ve çözme

\frac{2x}{2-x^2} = \frac{2x}{1+3x^2} \implies 2x(1+3x^2) = 2x(2-x^2)

İçler dışlar çarpımı yapılarak denklemin tüm olası köklerini veren ortak çarpan parantezine alınabilir duruma getirilmiştir.

Kökleri bulma ve pozitiflik şartını kontrol etme

2x(4x^2 - 1) = 0 \implies x = 0,\ x = -\frac{1}{2},\ x = \frac{1}{2}

Bulunan kökler arasından sadece pozitif olan gerçel sayı değeri seçilmiştir.

Ters trigonometrik fonksiyon denklemlerinin tanjant toplam-fark formülleri yardımıyla cebirsel denklemlere dönüştürülmesi.

Soru