Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Orijinden geçen bir dd doğrusu,
f(x)=x2−2x+4f(x) = x^2 - 2x + 4
parabolüne üzerindeki bir A(x0,y0)A(x_0, y_0) noktasında teğettir.

Buna göre, AA noktasının koordinatları toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    4
  2. 6Cevap
  3. C
    8
  4. D
    12
  5. E
    16

Cevap

A noktasının koordinatları toplamı 6 olabilir.
Orijinden geçen teğet doğrusunun denklemi y=mxy = mx şeklindedir. Teğet noktasındaki teğet eğimi türeve eşit olduğundan m=f′(x0)=2x0−2m = f'(x_0) = 2x_0 - 2 olur. y0=f(x0)y_0 = f(x_0) ve y0=m⋅x0y_0 = m \cdot x_0 eşitlikleri birleştirildiğinde x02=4x_0^2 = 4 elde edilir. Pozitif apsis değeri x0=2x_0 = 2 için teğet noktası ordinatı y0=4y_0 = 4 olur ve koordinatlar toplamı 6 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak teğet doğrusunun eğimini bulun.
f′(x)=2x−2f'(x) = 2x - 2 olduğundan teğet noktasındaki eğim m=f′(x0)=2x0−2m = f'(x_0) = 2x_0 - 2 olur.
Bir fonksiyona üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir.
2
Orijinden geçen teğet doğrusunun denklemini yazın ve teğet noktasının koordinat ilişkisini kurun.
Orijinden geçen doğrunun denklemi y=mxy = mx olduğundan teğet noktası için y0=m⋅x0y_0 = m \cdot x_0 yani y0=(2x0−2)⋅x0y_0 = (2x_0 - 2) \cdot x_0 yazılır.
Teğet noktası hem parabolün hem de orijinden geçen teğet doğrusunun üzerinde yer alır.
3
Parabol denklemindeki y değerini teğet doğrusu denklemindeki y değeri ile eşitleyin.
x02−2x0+4=2x02−2x0⇒x02=4x_0^2 - 2x_0 + 4 = 2x_0^2 - 2x_0 \Rightarrow x_0^2 = 4 elde edilir. Buradan x0=2x_0 = 2 veya x0=−2x_0 = -2 bulunur.
Teğet noktasının koordinatlarını sağlayan ortak denklemi çözmek için.
4
Bulunan apsis değerleri için ordinat değerlerini hesaplayın ve koordinat toplamlarını bulun.
x0=2x_0 = 2 için y0=22−2(2)+4=4⇒y_0 = 2^2 - 2(2) + 4 = 4 \Rightarrow Toplam: 2+4=62 + 4 = 6 olur. x0=−2x_0 = -2 için y0=(−2)2−2(−2)+4=12⇒y_0 = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 12 \Rightarrow Toplam: −2+12=10-2 + 12 = 10 olur.
İstenen koordinat toplamı alternatiflerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi ile türev arasındaki ilişki ve teğet denkleminin oluşturulması.

Alternatif Yöntem

Orijinden geçen teğet doğrusunun denklemi y=mxy = mx şeklinde kurulup parabolün denklemi ile ortak çözülür. Ortak çözüm denklemi olan x2−2x+4=mx⇒x2−(m+2)x+4=0x^2 - 2x + 4 = mx \Rightarrow x^2 - (m+2)x + 4 = 0 denkleminin teğetlikten ötürü diskriminantı sıfıra eşitlenir: Δ=(m+2)2−16=0⇒m+2=±4⇒m=2\Delta = (m+2)^2 - 16 = 0 \Rightarrow m+2 = \pm 4 \Rightarrow m = 2 veya m=−6m = -6 bulunur. Bulunan eğim değerleri teğet noktasının apsis formülü olan x0=m+22x_0 = \frac{m+2}{2} ifadesinde yerine yazılarak teğet noktalarının apsisleri sırasıyla 2 ve -2 bulunur. Buradan da koordinat toplamlarına ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru