Examkin

Soru

Zorluk: ZorKosinüs Teoremi

Aşağıdaki şekilde ABCDABCD kirişler dörtgeni ve bu dörtgenin bazı kenar uzunlukları verilmiştir.

Buna g��re, ACAC köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?

  1. A
    19\sqrt{19}
  2. 7Cevap
  3. C
    34\sqrt{34}
  4. D
    8
  5. E
    129\sqrt{129}

Cevap

AC köşegeninin uzunluğu 7 birimdir.
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamı 180∘180^\circ olduğundan cos⁡(ADC^)=−cos⁡(ABC^)\cos(\widehat{ADC}) = -\cos(\widehat{ABC}) olur. Her iki üçgende de Kosinüs Teoremi uygulanıp ortak AC2AC^2 ifadesi eşitlendiğinde cos⁡(ABC^)=−1/2\cos(\widehat{ABC}) = -1/2 bulunur. Bu değer yerine yazıldığında AC2=49AC^2 = 49 ve AC=7AC = 7 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kirişler dörtgeninin karşılıklı açılarının toplamının 180∘180^\circ olduğu özelliğini kullanarak a��ılar arasında ilişki kurma.
m(ABC^)=θm(\widehat{ABC}) = \theta ise m(ADC^)=180∘−θm(\widehat{ADC}) = 180^\circ - \theta olur. Dolayısıyla cos⁡(180∘−θ)=−cos⁡(θ)\cos(180^\circ - \theta) = -\cos(\theta) eşitliği elde edilir.
Kosinüs teoremini iki farklı üçgende ortak olan ACAC kenarı için uygulayabilmek.
2
ABCABC ve ADCADC üçgenlerinde ACAC kenarı için Kosinüs Teoremi formüllerini yazma.
ABCABC üçgeninde: AC2=32+52−2⋅3⋅5⋅cos⁡(θ)=34−30cos⁡(θ)AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\theta) = 34 - 30\cos(\theta)
ADCADC üçgeninde: AC2=82+52−2⋅8⋅5⋅cos⁡(180∘−θ)=89+80cos⁡(θ)AC^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(180^\circ - \theta) = 89 + 80\cos(\theta)
AC2AC^2 ifadesini iki farklı şekilde ifade ederek cos⁡(θ)\cos(\theta) değerini bulmak.
3
Elde edilen iki denklemi birbirine eşitleyerek cos⁡(θ)\cos(\theta) değerini hesaplama.
34−30cos⁡(θ)=89+80cos⁡(θ)  ⟹  110cos⁡(θ)=−55  ⟹  cos⁡(θ)=−1/234 - 30\cos(\theta) = 89 + 80\cos(\theta) \implies 110\cos(\theta) = -55 \implies \cos(\theta) = -1/2
AC2AC^2 değerini bulmak için gerekli olan trigonometrik oranı elde etmek.
4
Bulunan cos⁡(θ)=−1/2\cos(\theta) = -1/2 değerini denklemlerden birinde yerine yazarak ACAC uzunluğunu hesaplama.
AC2=34−30⋅(−1/2)=34+15=49  ⟹  AC=7AC^2 = 34 - 30 \cdot (-1/2) = 34 + 15 = 49 \implies AC = 7 birim.
İstenen köşegen uzunluğunu bulmak.

Anahtar Kavram

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların bütünler (180∘180^\circ a tamamlayan) olması ve Kosinüs Teoremi ile indirgeme formüllerinin uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Kosinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru