Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡x1+cos⁡x+1+cos⁡x1−cos⁡x\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} + \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2sec⁡x2\sec x
  2. B
    −2sec⁡x-2\sec x
  3. −2csc⁡x-2\csc xCevap
  4. D
    2csc⁡x2\csc x
  5. E
    −2cot⁡x-2\cot x

Cevap

−2csc⁡x-2\csc x ifadesini içeren seçenek doğrudur.
Verilen ifadeyi rasyonel hale getirmek için eşleniklerle çarptığımızda paydada sin⁡2x\sin^2 x elde ederiz. Bu ifade kök dışına ∣sin⁡x∣|\sin x| olarak çıkar. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığı için sin⁡x\sin x negatif değer alır ve mutlak değerden −sin⁡x-\sin x olarak kurtulur. Pay kısmındaki mutlak değerli ifadeler ise pozitif olduklarından aynen çıkarlar. Toplama işlemi yapıldığında cos⁡x\cos x terimleri birbirini götürür ve pay kısmında 22 kalır. Paydada −sin⁡x-\sin x olduğu için sonuç −2csc⁡x-2\csc x olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Köklü ifadelerin paydalarını rasyonel yapmak için pay ve paydayı eşlenikleriyle genişletelim.
(1−cos⁡x)2(1+cos⁡x)(1−cos⁡x)+(1+cos⁡x)2(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=(1−cos⁡x)21−cos⁡2x+(1+cos⁡x)21−cos⁡2x\sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{1 - \cos^2 x}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{1 - \cos^2 x}}
Paydaları ortak bir paydaya (yani sin⁡2x\sin^2 x ifadesine) dönü��türerek tek paydada yazabilmek için.
2
1−cos⁡2x=sin⁡2x1 - \cos^2 x = \sin^2 x özdeşliğini kullanalım ve ifadeleri kök dışına mutlak değerli olarak çıkaralım.
(1−cos⁡x)2sin⁡2x+(1+cos⁡x)2sin⁡2x=∣1−cos⁡x∣∣sin⁡x∣+∣1+cos⁡x∣∣sin⁡x∣\sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{\sin^2 x}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{\sin^2 x}} = \frac{|1 - \cos x|}{|\sin x|} + \frac{|1 + \cos x|}{|\sin x|}
Çift dereceli kök dışına çıkan ifadelerin mutlak değerli olarak yazılması gerektiği kuralını uygulamak için.
3
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığına (3. bölge) göre mutlak değerlerin işaretlerini belirleyelim.
3. bölgede cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan 1−cos⁡x>01 - \cos x > 0 ve 1+cos⁡x>01 + \cos x > 0 olur. Dolayısıyla ∣1−cos⁡x∣=1−cos⁡x|1 - \cos x| = 1 - \cos x ve ∣1+cos⁡x∣=1+cos⁡x|1 + \cos x| = 1 + \cos x olarak çıkar. Yine 3. bölgede sin⁡x<0\sin x < 0 olduğundan ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x| = -\sin x olarak çıkar.
Mutlak değerli ifadeleri aralığın işaret özelliklerine göre mutlak değer dışına çıkarmak için.
4
Belirlediğimiz işaretlerle ifadeleri yerlerine yazıp toplayalım.
1−cos⁡x−sin⁡x+1+cos⁡x−sin⁡x=1−cos⁡x+1+cos⁡x−sin⁡x=2−sin⁡x=−2csc⁡x\frac{1 - \cos x}{-\sin x} + \frac{1 + \cos x}{-\sin x} = \frac{1 - \cos x + 1 + \cos x}{-\sin x} = \frac{2}{-\sin x} = -2\csc x
İfadeyi en sade biçime getirmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler, bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve köklü ifadelerin mutlak değer ile dışarı çıkarılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru