Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları
İnsan kulağının duyarlı olduğu en düşük ses şiddeti (referans ses şiddeti) I0=10−12 W/m2I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2 olarak kabul edilir. Bir ses kaynağının ses şiddeti II (W/m2\text{W/m}^2 cinsinden) olmak üzere, bu kaynağın oluşturduğu ses düzeyi LL (desibel, dB cinsinden)
L=10⋅log⁡(II0)L = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right)
formülü ile hesaplanır.

Bir iş yerinde çalışan bir makinenin tek başına çalışırken çıkardığı sesin şiddeti I1I_1 W/m2\text{W/m}^2 olup bu makinenin oluşturduğu ses düzeyi 75 dB75\text{ dB} olarak ölçülmüştür. Bu iş yerine aynı makineden 3 tane daha getirilerek toplamda 4 özdeş makine aynı anda çalıştırılmaya başlanmıştır.

Buna göre, 4 makine aynı anda çalıştırıldığında iş yerindeki toplam ses düzeyi kaç desibel (dB) olur?
(Logaritma tabanını 10 olarak alınız ve log⁡2≈0.3\log 2 \approx 0.3 kabul ediniz.)

Cevap: 81 dB

Cevap

Yeni ses düzeyi 81 dB olarak bulunur.
Tek bir makinenin ses şiddeti I1I_1 iken ses düzeyi 75 dB75\text{ dB}'dir. 4 makine aynı anda çalıştığında toplam ses şiddeti 4I14I_1 olur. Logaritmanın toplama özelliğini kullanarak ses düzeyi formülünü açtığımızda, yeni ses düzeyi L2=10log⁡4+10log⁡(I1/I0)=20log⁡2+75L_2 = 10 \log 4 + 10 \log(I_1/I_0) = 20 \log 2 + 75 halini alır. Verilen log⁡2≈0.3\log 2 \approx 0.3 değeri yerine yazıldığında toplam ses düzeyi 81 dB81\text{ dB} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Tek bir makinenin ses düzeyini veren formülden yararlanarak log⁡(I1/I0)\log(I_1 / I_0) değerini belirlemek.
10⋅log⁡(I1/I0)=7510 \cdot \log(I_1 / I_0) = 75 olduğu için log⁡(I1/I0)=7.5\log(I_1 / I_0) = 7.5 olarak bulunur.
4 makinenin toplam ses şiddeti hesaplanırken bu değeri kullanmak gerekmektedir.
2
4 özdeş makinenin toplam ses şiddeti 4I14I_1 olacağından, yeni ses düzeyi formülünü yazmak.
L2=10⋅log⁡(4I1/I0)L_2 = 10 \cdot \log(4I_1 / I_0) elde edilir.
Toplam ses şiddetinin 4 katına çıkması nedeniyle yeni toplam ses düzeyini hesaplamak gerekmektedir.
3
Logaritma özelliklerini kullanarak ifadeyi açmak ve verilen log⁡2≈0.3\log 2 \approx 0.3 değerini yerine koymak.
L2=10⋅log⁡4+10⋅log⁡(I1/I0)=20⋅log⁡2+75=20⋅(0.3)+75=81 dBL_2 = 10 \cdot \log 4 + 10 \cdot \log(I_1 / I_0) = 20 \cdot \log 2 + 75 = 20 \cdot (0.3) + 75 = 81\text{ dB} bulunur.
Matematiksel işlemleri tamamlayarak nihai ses düzeyine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun gerçek hayat uygulamalarındaki modellenmesi ve logaritma özelliklerinin kullanılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları