Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tan��mlı; grafiği dik koordinat düzleminin yy-eksenine göre simetrik olan bir ff fonksiyonu ile grafiği orijine göre simetrik olan bir gg fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için

f(x)−g(−x)=x2+3x+4f(x) - g(-x) = x^2 + 3x + 4

etkisini sağlamaktadır.

Buna göre, f(2)⋅g(3)f(2) \cdot g(3) çarpımı kaçtır?

Cevap: 72

Cevap

72
Verilen fonksiyonların simetri özellikleri (ff çift, gg tek) kullanılarak f(x)+g(x)=x2+3x+4f(x) + g(x) = x^2 + 3x + 4 ve f(x)−g(x)=x2−3x+4f(x) - g(x) = x^2 - 3x + 4 denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde f(x)=x2+4f(x) = x^2 + 4 ve g(x)=3xg(x) = 3x kurallarına ulaşılır. İstenen f(2)⋅g(3)f(2) \cdot g(3) değeri ise 8⋅9=728 \cdot 9 = 72 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların grafik simetrilerinden cebirsel özelliklerini çıkarma
f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)
ff fonksiyonunun grafiği yy-eksenine göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur, gg fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan tek fonksiyondur.
2
Tek fonksiyon özelliğini kullanarak verilen denklemi basitleştirme
f(x)+g(x)=x2+3x+4f(x) + g(x) = x^2 + 3x + 4
gg tek fonksiyon olduğundan g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) olur, dolayısıyla −g(−x)=g(x)-g(-x) = g(x) eşitliği elde edilir.
3
Denklemde xx yerine −x-x yazarak ikinci bir ilişki kurma
f(x)−g(x)=x2−3x+4f(x) - g(x) = x^2 - 3x + 4
f(−x)+g(−x)=(−x)2+3(−x)+4f(-x) + g(-x) = (-x)^2 + 3(-x) + 4 denkleminde f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) ve g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x) özellikleri yerine yazılır.
4
Elde edilen denklem sistemini çözerek fonksiyonların kurallarını bulma
f(x)=x2+4f(x) = x^2 + 4 ve g(x)=3xg(x) = 3x
Bulunan iki denklem taraf tarafa toplanarak 2f(x)=2x2+8⇒f(x)=x2+42f(x) = 2x^2 + 8 \Rightarrow f(x) = x^2 + 4 elde edilir. Taraf tarafa çıkarılarak da 2g(x)=6x⇒g(x)=3x2g(x) = 6x \Rightarrow g(x) = 3x elde edilir.
5
İstenen değerleri hesaplama ve çarpma işlemini gerçekleştirme
f(2)⋅g(3)=72f(2) \cdot g(3) = 72
f(2)=22+4=8f(2) = 2^2 + 4 = 8 ve g(3)=3(3)=9g(3) = 3(3) = 9 değerleri çarpılarak sonuç 7272 bulunur.

Anahtar Kavram

Tek ve çift fonksiyonların grafik simetrileri ile cebirsel kuralları arasındaki ilişki
Bu soruyu puanla

Konular

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri

Bu konudan daha fazla soru