Examkin

Soru

Zorluk: ZorTürevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=x3−3x2+5x+cf(x) = x^3 - 3x^2 + 5x + c
fonksiyonunun grafiğine çizilen teğet doğruları arasında eğimi en küçük olan doğrunun denklemi y=2x−3y = 2x - 3 olarak veriliyor.

Buna göre, cc gerçel sayısı kaçtır?

Cevap: -4

Cevap

İstenen c gerçel sayısı -4 olarak bulunur.
Fonksiyonun türevi f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 olarak elde edilir. Bu ifadenin en küçük değeri, tepe noktası apsisi olan x=1x = 1 noktasında gerçekleşir. Teğet noktası (1,f(1))(1, f(1)) olup, bu nokta aynı zamanda y=2x−3y = 2x - 3 teğet doğrusu üzerinde bulunduğundan ordinatı y=2(1)−3=−1y = 2(1) - 3 = -1 olur. Grafiğin de bu noktadan geçmesi gerektiğinden f(1)=−1f(1) = -1 eşitliği kurulur ve 3+c=−13 + c = -1 den c=−4c = -4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun türevini alarak herhangi bir xx noktasındaki teğetinin eğimini veren fonksiyonu bulun.
f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5
Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğet doğrusunun eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevinin değerine eşittir.
2
Teğet eğiminin en küçük olduğu noktayı bulmak için f′(x)f'(x) parabolünün tepe noktasını hesaplayın.
r=−−62⋅3=1r = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1
f′(x)=3x2−6x+5f'(x) = 3x^2 - 6x + 5 kolları yukarı doğru olan bir parabol belirttiğinden, en küçük değerini tepe noktasında (x=rx = r) alır.
3
Eğimi en küçük olan teğet doğrusunun değme noktasının apsisi x=1x = 1 olduğuna göre, bu noktadaki teğet eğimini bulun.
m=f′(1)=3(1)2−6(1)+5=2m = f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 5 = 2
Bu eğim değeri, verilen y=2x−3y = 2x - 3 teğet doğrusunun eğimiyle (yani 2 ile) de uyuşmaktadır.
4
Değme noktasının yy koordinatını bulmak için x=1x = 1 değerini teğet doğrusunun denkleminde yerine yazın.
y=2(1)−3=−1y = 2(1) - 3 = -1
Teğet doğrusu ile eğri, değme noktasında çakışırlar; bu nedenle değme noktası olan (1,−1)(1, -1) her iki denklemi de sağlar.
5
(1,−1)(1, -1) noktası f(x)f(x) eğrisi üzerinde olduğundan, bu noktayı fonksiyon denkleminde yerine yazarak cc değerini çözün.
f(1)=−1  ⟹  13−3(1)2+5(1)+c=−1  ⟹  3+c=−1  ⟹  c=−4f(1) = -1 \implies 1^3 - 3(1)^2 + 5(1) + c = -1 \implies 3 + c = -1 \implies c = -4
Fonksiyonun kuralını sağlayan değme noktası yardımıyla bilinmeyen cc sabiti bulunur.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimi, o noktadaki türev değerine eşittir. Eğim fonksiyonunun minimum değeri parabolün tepe noktası yardımıyla bulunur.
Bu soruyu puanla

Konular

Türevin Geometrik Yorumu (Teğet ve Normal)

Bu konudan daha fazla soru