Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTekrarlı Permütasyon

Bir pastane işletmecisi, vitrindeki bir rafa yan yana dizmek üzere nn adet özdeş çilekli turta, 3 adet özdeş çikolatalı turta ve 2 adet özdeş muzlu turta siparişi vermiştir.

Bu turtaların tamamı, çikolatalı turtaların hepsi bir arada (yan yana) olmak koşuluyla vitrindeki rafa yan yana 360360 farklı şekilde dizilebilmektedir.

Buna göre, çilekli turta sayısı olan nn kaçtır?

Cevap: 7

Cevap

Çilekli turta sayısı n=7n = 7 olarak bulunur.
3 adet özdeş çikolatalı turta tek bir nesne olarak gruplandığında, dizilecek toplam nesne sayısı n+3n+3 olur. Çilekli turtaların (nn adet) ve muzlu turtaların (22 adet) özdeşliğinden dolayı tekrarlı permütasyon formülü (n+3)!n!⋅2!=360\frac{(n+3)!}{n! \cdot 2!} = 360 olarak yazılır. Bu denklem sadeleştirildiğinde (n+3)(n+2)(n+1)=720(n+3)(n+2)(n+1) = 720 elde edilir. Çarpımları 720 olan ardışık üç sayı 8,9,108, 9, 10 olduğundan n+1=8  ⟹  n=7n+1 = 8 \implies n = 7 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
3 adet özdeş çikolatalı turtayı tek bir blok olarak gruplamak.
1 adet çikolatalı turta grubu (bloğu) elde edilir.
Çikolatalı turtaların yan yana bulunması gerektiğinden bu turtalar ayrılmaz bir bütün olarak ele alınmalıdır.
2
Dizilecek toplam nesne sayısını belirlemek.
1 adet çikolata bloğu, nn adet özdeş çilekli turta ve 2 adet özdeş muzlu turta olmak üzere toplam n+3n + 3 nesne vardır.
Tekrarlı permütasyon formülünde pay kısmına yazılacak toplam nesne miktarını belirlemek için.
3
Tekrarlı permütasyon bağıntısını kullanarak dizilim sayısını veren denklemi kurmak.
\frac{(n+3)!}{n! \cdot 2! \cdot 1!} = 360
Toplam n+3n+3 nesne içindeki çilekli turtalar (nn adet) ve muzlu turtalar (22 adet) kendi aralarında özdeş olduğundan tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.
4
Faktöriyel ifadesini sadeleştirip denklemi çözülebilir hale getirmek.
(n+3)(n+2)(n+1) = 720
(n+3)!(n+3)! ifadesi n!n! cinsinden açılarak paydadaki n!n! ile sadeleştirilir ve içler dışlar çarpımı yapılır.
5
Çarpımları 720 olan ardışık üç tam sayıyı tespit edip nn değerini bulmak.
n = 7
8⋅9⋅10=7208 \cdot 9 \cdot 10 = 720 eşitliğinden dolayı n+1=8n+1 = 8 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyonda belirli elemanların bir arada tutulması ve verilen dizilim sayısından hareketle bilinmeyen eleman sayısının bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru